Cálculo Ejemplos

$f (x) = 0.5 x^{2} - 2 x - 4$ , $x = 3$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 3$ .

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Paso 1.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$y = 0.5 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 0.5 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 0.5 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Paso 1.2.3

Simplifica $0.5 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$ .

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = 0.5 \cdot 9 - 2 \cdot 3 - 4$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $0.5$ por $9$ .

$y = 4.5 - 2 \cdot 3 - 4$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$y = 4.5 - 6 - 4$

Paso 1.2.3.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 1.2.3.2.1

Resta $6$ de $4.5$ .

$y = - 1.5 - 4$

Paso 1.2.3.2.2

Resta $4$ de $- 1.5$ .

$y = - 5.5$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3$ y $y = - 5.5$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $0.5 x^{2} - 2 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $0.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $0.5$ .

$1 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$x - 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x - 2 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $x - 2$ y $0$ .

$x - 2$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = 3$ .

$(3) - 2$

Paso 2.6

Resta $2$ de $3$ .

$1$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(3, - 5.5)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 5.5) = 1 \cdot (x - (3))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 5.5 = 1 \cdot (x - 3)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$y + 5.5 = x - 3$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $5.5$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x - 3 - 5.5$

Paso 3.3.2.2

Resta $5.5$ de $- 3$ .

$y = x - 8.5$

Paso 4