Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x + \frac{5}{x}$ , $x = 4$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Paso 1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

Paso 1.2.2

Simplifica $2 (4) + \frac{5}{4}$ .

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = 8 + \frac{5}{4}$

Paso 1.2.2.2

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = 8 \cdot \frac{4}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 1.2.2.3

Combina $8$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{8 \cdot 4}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 1.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{8 \cdot 4 + 5}{4}$

Paso 1.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.2.5.1

Multiplica $8$ por $4$ .

$y = \frac{32 + 5}{4}$

Paso 1.2.2.5.2

Suma $32$ y $5$ .

$y = \frac{37}{4}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = \frac{37}{4}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + \frac{5}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 + 5 (- x^{- 2})$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$2 - 5 x^{- 2}$

Paso 2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - 5 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Combina los términos.

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Paso 2.5.1.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{- 5}{x^{2}}$

Paso 2.5.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 - \frac{5}{x^{2}}$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$- \frac{5}{x^{2}} + 2$

Paso 2.6

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$- \frac{5}{{(4)}^{2}} + 2$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{5}{16} + 2$

Paso 2.7.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{5}{16} + 2 \cdot \frac{16}{16}$

Paso 2.7.3

Combina $2$ y $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{5}{16} + \frac{2 \cdot 16}{16}$

Paso 2.7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 5 + 2 \cdot 16}{16}$

Paso 2.7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.5.1

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{- 5 + 32}{16}$

Paso 2.7.5.2

Suma $- 5$ y $32$ .

$\frac{27}{16}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{27}{16}$ y un punto dado $(4, \frac{37}{4})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{37}{4}) = \frac{27}{16} \cdot (x - (4))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{27}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{37}{4} = 0 + 0 + \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} x + \frac{27}{16} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{27}{16}$ y $x$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{16} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 (4)} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.5.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 3.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 3.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4} \cdot - 1$

Paso 3.3.1.6

Combina $\frac{27}{4}$ y $- 1$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27 \cdot - 1}{4}$

Paso 3.3.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1.7.1

Multiplica $27$ por $- 1$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27}{4}$

Paso 3.3.1.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $\frac{37}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4} + \frac{37}{4}$

Paso 3.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27 + 37}{4}$

Paso 3.3.2.3

Suma $- 27$ y $37$ .

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{10}{4}$

Paso 3.3.2.4

Cancela el factor común de $10$ y $4$ .

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Paso 3.3.2.4.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 (5)}{4}$

Paso 3.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{5}{2}$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{27}{16} x + \frac{5}{2}$

Paso 4