Cálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{2 x - 3}{7 x + 4}$ , $x = 4$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Paso 1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$y = \frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$

Paso 1.2.2

Simplifica $\frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$ .

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Paso 1.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{8 - 3}{7 (4) + 4}$

Paso 1.2.2.1.2

Resta $3$ de $8$ .

$y = \frac{5}{7 (4) + 4}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.2.2.1

Multiplica $7$ por $4$ .

$y = \frac{5}{28 + 4}$

Paso 1.2.2.2.2

Suma $28$ y $4$ .

$y = \frac{5}{32}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = \frac{5}{32}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x - 3$ y $g (x) = 7 x + 4$ .

$\frac{(7 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(7 x + 4) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.2.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{(7 x + 4) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.2.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $7 x + 4$ .

$\frac{2 \cdot (7 x + 4) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.2.8

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.2.10

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.2.11

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 + 0)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.12.1

Suma $7$ y $0$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) \cdot 7}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.2.12.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - 7 (2 x - 3)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (7 x) + 2 \cdot 4 - 7 (2 x - 3)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (7 x) + 2 \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{14 x + 2 \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{14 x + 8 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.3

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$\frac{14 x + 8 - 14 x - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.4

Multiplica $- 7$ por $- 3$ .

$\frac{14 x + 8 - 14 x + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.3.3.2

Combina los términos opuestos en $14 x + 8 - 14 x + 21$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Resta $14 x$ de $14 x$ .

$\frac{0 + 8 + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.3.3.2.2

Suma $0$ y $8$ .

$\frac{8 + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.3.3.3

Suma $8$ y $21$ .

$\frac{29}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$\frac{29}{{(7 (4) + 4)}^{2}}$

Paso 2.5

Simplifica el denominador.

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Paso 2.5.1

Multiplica $7$ por $4$ .

$\frac{29}{{(28 + 4)}^{2}}$

Paso 2.5.2

Suma $28$ y $4$ .

$\frac{29}{32^{2}}$

Paso 2.5.3

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$\frac{29}{1024}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{29}{1024}$ y un punto dado $(4, \frac{5}{32})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{5}{32}) = \frac{29}{1024} \cdot (x - (4))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{5}{32} = 0 + 0 + \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} x + \frac{29}{1024} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{29}{1024}$ y $x$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{1024} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Factoriza $4$ de $1024$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 (256)} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.5.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 \cdot 256} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 3.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 \cdot 256} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 3.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{256} \cdot - 1$

Paso 3.3.1.6

Combina $\frac{29}{256}$ y $- 1$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29 \cdot - 1}{256}$

Paso 3.3.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1.7.1

Multiplica $29$ por $- 1$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29}{256}$

Paso 3.3.1.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $\frac{5}{32}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5}{32}$

Paso 3.3.2.2

Para escribir $\frac{5}{32}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5}{32} \cdot \frac{8}{8}$

Paso 3.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $256$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Multiplica $\frac{5}{32}$ por $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5 \cdot 8}{32 \cdot 8}$

Paso 3.3.2.3.2

Multiplica $32$ por $8$ .

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5 \cdot 8}{256}$

Paso 3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29 + 5 \cdot 8}{256}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.5.1

Multiplica $5$ por $8$ .

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29 + 40}{256}$

Paso 3.3.2.5.2

Suma $- 29$ y $40$ .

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{11}{256}$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{29}{1024} x + \frac{11}{256}$

Paso 4