Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{4} (125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $125$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ y ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ de ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide ${(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Paso 2.2.3

Suma $n$ y $0$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - (n - 1)}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n - - 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n + 1}$

Paso 2.2.5

Resta $n$ de $n$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{0 + 1}$

Paso 2.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{1}$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$r = \frac{1}{5}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $n$ en $(125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{1 - 1}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{0}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$a = 125 \frac{1^{0}}{5^{0}}$

Paso 3.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 125 \frac{1}{5^{0}}$

Paso 3.2.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 125 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.5

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.2.5.1

Cancela el factor común.

$a = 125 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.5.2

Reescribe la expresión.

$a = 125 \cdot 1$

Paso 3.2.6

Multiplica $125$ por $1$ .

$a = 125$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$125 \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

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Paso 5.1.1

Multiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$ por $\frac{5}{5}$ .

$125 (\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}})$

Paso 5.1.2

Combinar.

$125 \frac{5 (1 - {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 (1 - \frac{1}{5})}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{1}{5})}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{5}$ al numerador.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Paso 5.3.3

Reescribe la expresión.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$125 \frac{5 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$125 \frac{5 + 5 (- \frac{1^{4}}{5^{4}})}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1^{4}}{5^{4}}$ al numerador.

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5^{4}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $5$ de $5^{4}$ .

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3.3

Cancela el factor común.

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.3.4

Reescribe la expresión.

$125 \frac{5 + \frac{- 1^{4}}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.5

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$125 \frac{5 + \frac{- 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$125 \frac{5 - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.8

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{125}{125}$ .

$125 \frac{5 \cdot \frac{125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.9

Combina $5$ y $\frac{125}{125}$ .

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.11.1

Multiplica $5$ por $125$ .

$125 \frac{\frac{625 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.4.11.2

Resta $1$ de $625$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 - 1}$

Paso 5.5.2

Resta $1$ de $5$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{4}$

Paso 5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$125 (\frac{624}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 5.7

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.7.1

Factoriza $4$ de $624$ .

$125 (\frac{4 (156)}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 5.7.2

Cancela el factor común.

$125 (\frac{4 \cdot 156}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 5.7.3

Reescribe la expresión.

$125 (\frac{156}{125})$

Paso 5.8

Cancela el factor común de $125$ .

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Paso 5.8.1

Cancela el factor común.

$125 (\frac{156}{125})$

Paso 5.8.2

Reescribe la expresión.

$156$