Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{20} {(i - 1)}^{2}$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Reescribe ${(i - 1)}^{2}$ como $(i - 1) (i - 1)$ .

$(i - 1) (i - 1)$

Paso 1.2

Expande $(i - 1) (i - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $i$ por $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $i$ .

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Paso 1.3.1.3

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Paso 1.3.1.4

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$i^{2} - i - i + 1$

Paso 1.3.2

Resta $i$ de $- i$ .

$i^{2} - 2 i + 1$

Paso 1.4

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{20} i + \sum_{i = 1}^{20} 1$

Paso 3

Evalúa $\sum_{i = 1}^{20} i^{2}$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $20$ y $6$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $2$ de $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

Paso 3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

Paso 3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $2$ por $20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

Paso 3.3.2.2

Suma $20$ y $1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $10$ por $21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

Paso 3.3.2.4

Suma $40$ y $1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

Paso 3.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $210$ por $41$ .

$\frac{8610}{3}$

Paso 3.3.3.2

Divide $8610$ por $3$ .

$2870$

Paso 4

Evalúa $2 \sum_{i = 1}^{20} i$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 2) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1.1

Suma $20$ y $1$ .

$- 2 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $20$ por $21$ .

$- 2 (\frac{420}{2})$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{420}{2}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{420}{2}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 420$

Paso 4.3.3

Multiplica $- 1$ por $420$ .

$- 420$

Paso 5

Evalúa $\sum_{i = 1}^{20} 1$ .

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Paso 5.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 5.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(1) (20)$

Paso 5.3

Multiplica $20$ por $1$ .

$20$

Paso 6

Suma los resultados de las sumas.

$2870 - 420 + 20$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Resta $420$ de $2870$ .

$2450 + 20$

Paso 7.2

Suma $2450$ y $20$ .

$2470$