Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 4}^{7} 3^{i}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{i}$ y $a_{i + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{3^{i + 1}}{3^{i}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $3^{i + 1}$ y $3^{i}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $3^{i}$ de $3^{i + 1}$ .

$r = \frac{3^{i} \cdot 3}{3^{i}}$

Paso 2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{3^{i} \cdot 3}{3^{i} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{3^{i} \cdot 3}{3^{i} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{3}{1}$

Paso 2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$r = 3$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $4$ por $i$ en $3^{i}$ .

$a = 3^{4}$

Paso 3.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$a = 81$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$81 \frac{1 - 3^{4}}{1 - 1 \cdot 3}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$81 \frac{1 - 1 \cdot 81}{1 - 1 \cdot 3}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$81 \frac{1 - 81}{1 - 1 \cdot 3}$

Paso 5.1.3

Resta $81$ de $1$ .

$81 \frac{- 80}{1 - 1 \cdot 3}$

Paso 5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$81 \frac{- 80}{1 - 3}$

Paso 5.2.2

Resta $3$ de $1$ .

$81 (\frac{- 80}{- 2})$

Paso 5.3

Divide $- 80$ por $- 2$ .

$81 \cdot 40$

Paso 5.4

Multiplica $81$ por $40$ .

$3240$