Cálculo Ejemplos

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2}$

Paso 1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2} = \sum_{x = 1}^{8} 1 + \sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x} + \sum_{x = 1}^{8} x^{2}$

Paso 2

Evalúa $\sum_{x = 1}^{8} 1$ .

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Paso 2.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 2.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(1) (8)$

Paso 2.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$8$

Paso 3

Evalúa $\sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $- 1$ fuera de la suma.

$(- 1) \sum_{x = 1}^{8} \frac{11}{x}$

Paso 3.2

Expande la serie para cada valor de $x$ .

$- \frac{11}{1} - \frac{11}{2} - \frac{11}{3} + \dots - \frac{11}{8}$

Paso 3.3

Simplifica la forma expandida.

$- \frac{8371}{280}$

Paso 4

Evalúa $\sum_{x = 1}^{8} x^{2}$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $8$ y $6$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $2$ de $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

Paso 4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

Paso 4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

Paso 4.3.2.2

Suma $8$ y $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $4$ por $9$ .

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

Paso 4.3.2.4

Suma $16$ y $1$ .

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

Paso 4.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $36$ por $17$ .

$\frac{612}{3}$

Paso 4.3.3.2

Divide $612$ por $3$ .

$204$

Paso 5

Suma los resultados de las sumas.

$8 - \frac{8371}{280} + 204$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Obtén el denominador común

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Paso 6.1.1

Escribe $8$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{8}{1} - \frac{8371}{280} + 204$

Paso 6.1.2

Multiplica $\frac{8}{1}$ por $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8}{1} \cdot \frac{280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

Paso 6.1.3

Multiplica $\frac{8}{1}$ por $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

Paso 6.1.4

Escribe $204$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1}$

Paso 6.1.5

Multiplica $\frac{204}{1}$ por $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1} \cdot \frac{280}{280}$

Paso 6.1.6

Multiplica $\frac{204}{1}$ por $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204 \cdot 280}{280}$

Paso 6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 \cdot 280 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

Paso 6.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1

Multiplica $8$ por $280$ .

$\frac{2240 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

Paso 6.3.2

Multiplica $204$ por $280$ .

$\frac{2240 - 8371 + 57120}{280}$

Paso 6.4

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.4.1

Resta $8371$ de $2240$ .

$\frac{- 6131 + 57120}{280}$

Paso 6.4.2

Suma $- 6131$ y $57120$ .

$\frac{50989}{280}$