Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{100} 2^{i}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{i}$ y $a_{i + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $2^{i + 1}$ y $2^{i}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $2^{i}$ de $2^{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Paso 2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{2}{1}$

Paso 2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$r = 2$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $i$ en $2^{i}$ .

$a = 2^{1}$

Paso 3.2

Evalúa el exponente.

$a = 2$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 2}$

Paso 5.1.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 \frac{1 - 2^{100}}{- 1}$

Paso 5.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1 - 2^{100}}{- 1}$ .

$2 (- 1 \cdot (1 - 2^{100}))$

Paso 5.3

Reescribe $- 1 \cdot (1 - 2^{100})$ como $- (1 - 2^{100})$ .

$2 (- (1 - 2^{100}))$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- 1 \cdot 1 - - 2^{100})$

Paso 5.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (- 1 - - 2^{100})$

Paso 5.6

Multiplica $- - 2^{100}$ .

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Paso 5.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 (- 1 + 1 \cdot 2^{100})$

Paso 5.6.2

Multiplica $2^{100}$ por $1$ .

$2 (- 1 + 2^{100})$

Paso 5.7

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot - 1 + 2 \cdot 2^{100}$

Paso 5.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 + 2 \cdot 2^{100}$

Paso 5.9

Multiplica $2$ por $2^{100}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.9.1

Multiplica $2$ por $2^{100}$ .

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Paso 5.9.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$- 2 + 2^{1} \cdot 2^{100}$

Paso 5.9.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 + 2^{1 + 100}$

Paso 5.9.2

Suma $1$ y $100$ .

$- 2 + 2^{101}$