Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{12} 2 i^{2} - 1$

Paso 1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{12} 2 i^{2} - 1 = 2 \sum_{k = 1}^{12} i^{2} + \sum_{k = 1}^{12} - 1$

Paso 2

Evalúa $2 \sum_{k = 1}^{12} i^{2}$ .

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Paso 2.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 2.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(2) (\frac{12 (12 + 1) (2 \cdot 12 + 1)}{6})$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1.1

Suma $12$ y $1$ .

$2 \frac{12 \cdot 13 (2 \cdot 12 + 1)}{6}$

Paso 2.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 2.3.1.2.1

Multiplica $12$ por $13$ .

$2 \frac{156 (2 \cdot 12 + 1)}{6}$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $12$ .

$2 \frac{156 (24 + 1)}{6}$

Paso 2.3.1.3

Suma $24$ y $1$ .

$2 \frac{156 \cdot 25}{6}$

Paso 2.3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $156$ por $25$ .

$2 (\frac{3900}{6})$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 \frac{3900}{2 (3)}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{3900}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3900}{3}$

Paso 2.3.2.3

Divide $3900$ por $3$ .

$1300$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{12} - 1$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(- 1) (12)$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$- 12$

Paso 4

Suma los resultados de las sumas.

$1300 - 12$

Paso 5

Resta $12$ de $1300$ .

$1288$