Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{11} 2^{i - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{i}$ y $a_{i + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1 - 1}}{2^{i - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2^{i + 1 - 1}$ y $2^{i - 1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $2^{i - 1}$ de $2^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{2^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Paso 2.2.1.2.4

Divide $2^{i + 0 - (i - 1)}$ por $1$ .

$r = 2^{i + 0 - (i - 1)}$

Paso 2.2.2

Suma $i$ y $0$ .

$r = 2^{i - (i - 1)}$

Paso 2.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = 2^{i - i - - 1}$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = 2^{i - i + 1}$

Paso 2.2.4

Resta $i$ de $i$ .

$r = 2^{0 + 1}$

Paso 2.2.5

Suma $0$ y $1$ .

$r = 2^{1}$

Paso 2.2.6

Evalúa el exponente.

$r = 2$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $i$ en $2^{i - 1}$ .

$a = 2^{1 - 1}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = 2^{0}$

Paso 3.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 1$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$1 \frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$ por $1$ .

$\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $11$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 5.2.2

Multiplica $- 1$ por $2048$ .

$\frac{1 - 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 5.2.3

Resta $2048$ de $1$ .

$\frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2047}{1 - 2}$

Paso 5.3.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{- 2047}{- 1}$

Paso 5.4

Divide $- 2047$ por $- 1$ .

$2047$