Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1$

Paso 1

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $k$ sea igual a $1$ .

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 - \sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$

Paso 2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1$ .

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Paso 2.1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + \sum_{k = 1}^{9} 1$

Paso 2.2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{9} k^{2}$ .

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Paso 2.2.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 2.2.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

Paso 2.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

Paso 2.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

Paso 2.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

Paso 2.2.3.2.2

Suma $9$ y $1$ .

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

Paso 2.2.3.2.3

Multiplica $3$ por $10$ .

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

Paso 2.2.3.2.4

Suma $18$ y $1$ .

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

Paso 2.2.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.3.1

Multiplica $30$ por $19$ .

$\frac{570}{2}$

Paso 2.2.3.3.2

Divide $570$ por $2$ .

$285$

Paso 2.3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{9} 1$ .

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Paso 2.3.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 2.3.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(1) (9)$

Paso 2.3.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$9$

Paso 2.4

Suma los resultados de las sumas.

$285 + 9$

Paso 2.5

Suma $285$ y $9$ .

$294$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$ .

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Paso 3.1

Expande la serie para cada valor de $k$ .

$1^{2} + 1 + 2^{2} + 1$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 1 + 2^{2} + 1$

Paso 3.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$2 + 2^{2} + 1$

Paso 3.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 + 4 + 1$

Paso 3.2.4

Suma $4$ y $1$ .

$2 + 5$

Paso 3.2.5

Suma $2$ y $5$ .

$7$

Paso 4

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$294 - 7$

Paso 5

Resta $7$ de $294$ .

$287$