Cálculo Ejemplos

$f' (x) = 4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ , $x = 5$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x^{2}$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $15$ .

$12 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Paso 1.4.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.4.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $12 x^{2} + 30 x + 10$ y $0$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10$

Paso 2

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f'' (5) = 12 {(5)}^{2} + 30 (5) + 10$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f'' (5) = 12 \cdot 25 + 30 (5) + 10$

Paso 3.2

Multiplica $12$ por $25$ .

$f'' (5) = 300 + 30 (5) + 10$

Paso 3.3

Multiplica $30$ por $5$ .

$f'' (5) = 300 + 150 + 10$

Paso 4

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1

Suma $300$ y $150$ .

$f'' (5) = 450 + 10$

Paso 4.2

Suma $450$ y $10$ .

$f'' (5) = 460$