Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 27}$ , $x = 3$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 27}$ como ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 27$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Paso 1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Paso 1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Paso 1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Paso 1.7.3

Mueve ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Paso 1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])$

Paso 1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [27])$

Paso 1.10

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Paso 1.11

Simplifica los términos.

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Paso 1.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Paso 1.11.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 1.11.3

Combina $\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.5

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = \frac{3}{{({(3)}^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(9 + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.2

Suma $9$ y $27$ .

$f' (3) = \frac{3}{36^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(6^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.1

Cancela el factor común.

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 3.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Paso 3.6

Evalúa el exponente.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Paso 4

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 4.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f' (3) = \frac{3 (1)}{6}$

Paso 4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (3) = \frac{1}{2}$