Cálculo Ejemplos

$h (x) = 5 x^{2} {(9 x + 7)}^{4}$ , $x = 4$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2} {(9 x + 7)}^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x + 7)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x + 7)}^{4}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(9 x + 7)}^{4}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(9 x + 7)}^{4}] + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 9 x + 7$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 x + 7$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x + 7$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.4.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.4.4

Multiplica $9$ por $1$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.4.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 + 0)) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.6.1

Suma $9$ y $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} \cdot 9) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.4.6.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + {(9 x + 7)}^{4} (2 x))$

Paso 1.4.8

Mueve $2$ a la izquierda de ${(9 x + 7)}^{4}$ .

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + 2 \cdot {(9 x + 7)}^{4} x)$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(9 x + 7)}^{4} x)$

Paso 1.5.2

Multiplica $36$ por $5$ .

$180 (x^{2} ({(9 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(9 x + 7)}^{4} x)$

Paso 1.5.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3} + 10 ({(9 x + 7)}^{4} x)$

Paso 1.5.4

Factoriza $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ de $180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3} + 10 {(9 x + 7)}^{4} x$ .

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Paso 1.5.4.1

Factoriza $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ de $180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3}$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 {(9 x + 7)}^{4} x$

Paso 1.5.4.2

Factoriza $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ de $10 {(9 x + 7)}^{4} x$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 x {(9 x + 7)}^{3} (9 x + 7)$

Paso 1.5.4.3

Factoriza $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ de $10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 x {(9 x + 7)}^{3} (9 x + 7)$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x + 9 x + 7)$

Paso 1.5.5

Suma $18 x$ y $9 x$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (27 x + 7)$

Paso 2

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$h' (4) = 10 (4) {(9 (4) + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

Paso 3

Multiplica $10$ por $4$ .

$h' (4) = 40 {(9 (4) + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

Paso 4

Multiplica $9$ por $4$ .

$h' (4) = 40 {(36 + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

Paso 5

Suma $36$ y $7$ .

$h' (4) = 40 \cdot (43^{3} (27 (4) + 7))$

Paso 6

Eleva $43$ a la potencia de $3$ .

$h' (4) = 40 \cdot (79507 (27 (4) + 7))$

Paso 7

Multiplica $40$ por $79507$ .

$h' (4) = 3180280 (27 (4) + 7)$

Paso 8

Multiplica $27$ por $4$ .

$h' (4) = 3180280 (108 + 7)$

Paso 9

Suma $108$ y $7$ .

$h' (4) = 3180280 \cdot 115$

Paso 10

Multiplica $3180280$ por $115$ .

$h' (4) = 365732200$