Cálculo Ejemplos

$f (r) = {(2 r)}^{\frac{2}{3}}$ , $r = 5$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $2 r$ .

$\frac{d}{d r} [{(2 (r))}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.1.2

Aplica la regla del producto a $2 (r)$ .

$\frac{d}{d r} [2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.2

Como $2^{\frac{2}{3}}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $r$ es $2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 1.7.2

Resta $3$ de $2$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{- \frac{1}{3}})$

Paso 1.9

Combina $\frac{2}{3}$ y $r^{- \frac{1}{3}}$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.10

Combina $2^{\frac{2}{3}}$ y $\frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}} (2 r^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Paso 1.11

Multiplica $2^{\frac{2}{3}}$ por $2$ sumando los exponentes.

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Paso 1.11.1

Mueve $2$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.11.2

Multiplica $2$ por $2^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 1.11.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2^{1 + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.11.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.11.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2^{\frac{3 + 2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.11.5

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.12

Mueve $r^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 r^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2

Reemplaza la variable $r$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 {(5)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3

Elimina los paréntesis.

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$