Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ , $x = 2$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

Paso 1.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

Paso 1.2.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$0 - (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} - 3 x + 3$ .

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Paso 1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} - 3 x + 3$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

Paso 1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} - 3 x + 3$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

Paso 1.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

Paso 1.2.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])))$

Paso 1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])))$

Paso 1.2.8

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + 0)))$

Paso 1.2.9

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 + 0)))$

Paso 1.2.10

Suma $2 x - 3$ y $0$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

Paso 1.2.11

Combina $3$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ .

$0 - (\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

Paso 1.2.12

Combina ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ y $\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ .

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

Paso 1.2.13

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ .

$0 - (\frac{3 \cdot {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

Paso 1.2.14

Cancela el factor común de ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ y ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

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Paso 1.2.14.1

Factoriza ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ de $3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ .

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

Paso 1.2.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.14.2.1

Factoriza ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ de ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

Paso 1.2.14.2.2

Cancela el factor común.

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

Paso 1.2.14.2.3

Reescribe la expresión.

$0 - (\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3))$

$0 - \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Resta $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ de $0$ .

$- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

Paso 1.3.2

Reordena los factores de $- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ .

$- (2 x - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (2 x) - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Paso 1.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$(- 2 x + 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Paso 1.3.6

Multiplica $- 2 x + 3$ por $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$ .

$\frac{(- 2 x + 3) \cdot 3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Paso 1.3.7

Mueve $3$ a la izquierda de $- 2 x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (- 2 x + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

Paso 1.3.8

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

Paso 1.3.9

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (- 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

Paso 1.3.10

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{3 (- (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

Paso 1.3.11

Reescribe $- (2 x - 3)$ como $- 1 (2 x - 3)$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

Paso 1.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (2 x - 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

Paso 2

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - \frac{3 (2 (2) - 3)}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 (4 - 3)}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Paso 3.2

Resta $3$ de $4$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 3 \cdot 2 + 3}$

Paso 4.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 6 + 3}$

Paso 4.3

Resta $6$ de $4$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{- 2 + 3}$

Paso 4.4

Suma $- 2$ y $3$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{1}$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (2) = - \frac{3}{1}$

Paso 5.2

Divide $3$ por $1$ .

$f' (2) = - 1 \cdot 3$

Paso 5.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (2) = - 3$