Cálculo Ejemplos

$t - \sqrt[3]{t}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t - \sqrt[3]{t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{t}$ como $t^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.1.2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 1.1.2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.1.2.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 1.1.2.7.2

Resta $3$ de $1$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 1.1.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 - \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.1.2.10

Mueve $t^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (t) = 1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (t)$ con respecto a $t$ es $1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = - 1$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3 t^{\frac{2}{3}}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$3 t^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = - 1$ por $3 t^{\frac{2}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = - 1$ por $3 t^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} (3 t^{\frac{2}{3}}) = - (3 t^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $3 t^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{3 t^{\frac{2}{3}}} (3 t^{\frac{2}{3}}) = - (3 t^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{3 t^{\frac{2}{3}}} (3 t^{\frac{2}{3}}) = - (3 t^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - (3 t^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 1 = - 3 t^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $- 3 t^{\frac{2}{3}} = - 1$ .

$- 3 t^{\frac{2}{3}} = - 1$

Paso 2.5.2

Divide cada término en $- 3 t^{\frac{2}{3}} = - 1$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.1

Divide cada término en $- 3 t^{\frac{2}{3}} = - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 t^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 t^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 2.5.2.2.2

Divide $t^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}$

Paso 2.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.5.4

Simplifica el exponente.

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Paso 2.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.4.1.1

Simplifica ${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$t^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$t^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$t^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.5.4.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$t^{1} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.5.4.1.1.2

Simplifica.

$t = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 2.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.4.2.1

Simplifica $\pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 2.5.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$t = \pm \frac{1^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.5.4.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$t = \pm \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$t = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$1 - \frac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{t^{2}} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $t$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{t^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{t^{2}}$ como $t^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 t^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(3 t^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 t^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(t^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {(t^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 t^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 t^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 t^{2} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 t^{2} = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $t$

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $27 t^{2} = 0$ por $27$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1.1

Divide cada término en $27 t^{2} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 t^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 3.3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 t^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 3.3.3.1.2.1.2

Divide $t^{2}$ por $1$ .

$t^{2} = \frac{0}{27}$

Paso 3.3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1.3.1

Divide $0$ por $27$ .

$t^{2} = 0$

Paso 3.3.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$t = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.3.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.3.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$t = \pm 0$

Paso 3.3.3.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$t = 0$

Paso 4

Evalúa $t - \sqrt[3]{t}$ en cada valor $t$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ por $t$ .

$(\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) - \sqrt[3]{\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{\frac{1^{3}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 4.1.2.1.2

Reescribe $3^{\frac{3}{2}}$ como ${(3^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{\frac{1^{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{3}}}$

Paso 4.1.2.1.3

Reescribe $\frac{1^{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{3}}$ como ${(\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{{(\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}}$

Paso 4.1.2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.2.2

Para escribir $- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3^{\frac{3}{2}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $3^{\frac{1}{2}}$ por $3^{\frac{2}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.2.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 4.1.2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 4.1.2.3.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.5.1

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1 - 3^{1}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.2.5.2

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.2.5.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1 - 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.2.5.4

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2

Evalúa en $t = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ por $t$ .

$(- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) - \sqrt[3]{- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Reescribe $- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ como ${(- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}$ .

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}}$

Paso 4.2.2.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $- - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 4.2.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + 1 \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2.2.1.3.2

Multiplica $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2.2.2

Para escribir $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3^{\frac{3}{2}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.2.3.2

Multiplica $3^{\frac{1}{2}}$ por $3^{\frac{2}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.2.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 4.2.2.3.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.5.1

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{- 1 + 3^{1}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.2.5.2

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 + 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.2.5.3

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.3

Evalúa en $t = 0$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $0$ por $t$ .

$(0) - \sqrt[3]{0}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$0 - \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 4.3.2.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$0 - 0$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.3.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}), (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}), (0, 0)$

Paso 5