Cálculo Ejemplos

$f (x) = - {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $- {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ no está definida.

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to \infty} - {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to \infty} {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$

Paso 3.2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 3.2.1

Reescribe ${(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ como $e^{\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})}$ .

$- lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})}$

Paso 3.2.2

Expande $\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})$ ; para ello, mueve $e^{- x}$ fuera del logaritmo.

$- lim_{x \to \infty} e^{e^{- x} \ln (x - 0.086)}$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$- e^{lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x - 0.086)}$

Paso 3.4

Reescribe $e^{- x} \ln (x - 0.086)$ como $\frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}}}$

Paso 3.5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$- e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x - 0.086)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

Paso 3.5.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$- e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

Paso 3.5.1.3

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$- e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$- e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.5.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 0.086)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 3.5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 0.086)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Paso 3.5.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x - 0.086$ .

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Paso 3.5.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 0.086$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Paso 3.5.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Paso 3.5.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 0.086$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Paso 3.5.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 0.086$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.086]$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.086])}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Paso 3.5.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (1 + \frac{d}{d x} [- 0.086])}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Paso 3.5.3.5

Como $- 0.086$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 0.086$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Paso 3.5.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Paso 3.5.3.7

Multiplica $\frac{1}{x - 0.086}$ por $1$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Paso 3.5.3.8

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086}}{e^{x}}}$

Paso 3.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x - 0.086} \cdot \frac{1}{e^{x}}}$

Paso 3.5.5

Multiplica $\frac{1}{x - 0.086}$ por $\frac{1}{e^{x}}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 0.086) e^{x}}}$

Paso 3.5.6

Reordena los factores en $\frac{1}{(x - 0.086) e^{x}}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x} (x - 0.086)}}$

Paso 3.6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{e^{x} (x - 0.086)}$ se acerca a $0$ .

$- e^{0}$

Paso 3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.7.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 3.7.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = - 1$

Paso 5

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

Asíntotas horizontales: $y = - 1$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7