Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 8$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $2 x^{2} + 12 x - 8$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = 12$

$c = - 8$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (2)}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{6}{2}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 1.1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$d = 3$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 8 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$e = - 8 - \frac{144}{4 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = - 8 - \frac{144}{8}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Divide $144$ por $8$ .

$e = - 8 - 1 \cdot 18$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $18$ .

$e = - 8 - 18$

Paso 1.1.1.4.2.2

Resta $18$ de $- 8$ .

$e = - 26$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 {(x + 3)}^{2} - 26$ .

$2 {(x + 3)}^{2} - 26$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 2 {(x + 3)}^{2} - 26$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 2$

$h = - 3$

$k = - 26$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 3, - 26)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 1.5.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 3, - \frac{207}{8})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 3$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{209}{8}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 3, - 26)$

Foco: $(- 3, - \frac{207}{8})$

Eje de simetría: $x = - 3$

Directriz: $y = - \frac{209}{8}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 3, - 26)$

Foco: $(- 3, - \frac{207}{8})$

Eje de simetría: $x = - 3$

Directriz: $y = - \frac{209}{8}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = 2 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4) - 8$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = 2 \cdot 16 + 12 (- 4) - 8$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$f (- 4) = 32 + 12 (- 4) - 8$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $12$ por $- 4$ .

$f (- 4) = 32 - 48 - 8$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.2.2.1

Resta $48$ de $32$ .

$f (- 4) = - 16 - 8$

Paso 2.2.2.2

Resta $8$ de $- 16$ .

$f (- 4) = - 24$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $- 24$ .

$- 24$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 4$ es $- 24$ .

$y = - 24$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = 2 {(- 5)}^{2} + 12 (- 5) - 8$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f (- 5) = 2 \cdot 25 + 12 (- 5) - 8$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$f (- 5) = 50 + 12 (- 5) - 8$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $12$ por $- 5$ .

$f (- 5) = 50 - 60 - 8$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.5.2.1

Resta $60$ de $50$ .

$f (- 5) = - 10 - 8$

Paso 2.5.2.2

Resta $8$ de $- 10$ .

$f (- 5) = - 18$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $- 18$ .

$- 18$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 5$ es $- 18$ .

$y = - 18$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2) - 8$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 4 + 12 (- 2) - 8$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (- 2) = 8 + 12 (- 2) - 8$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $12$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 8 - 24 - 8$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.8.2.1

Resta $24$ de $8$ .

$f (- 2) = - 16 - 8$

Paso 2.8.2.2

Resta $8$ de $- 16$ .

$f (- 2) = - 24$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $- 24$ .

$- 24$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $- 24$ .

$y = - 24$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) - 8$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 + 12 (- 1) - 8$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (- 1) = 2 + 12 (- 1) - 8$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - 12 - 8$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.11.2.1

Resta $12$ de $2$ .

$f (- 1) = - 10 - 8$

Paso 2.11.2.2

Resta $8$ de $- 10$ .

$f (- 1) = - 18$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $- 18$ .

$- 18$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- 18$ .

$y = - 18$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 18 \\ - 4 & - 24 \\ - 3 & - 26 \\ - 2 & - 24 \\ - 1 & - 18 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 3, - 26)$

Foco: $(- 3, - \frac{207}{8})$

Eje de simetría: $x = - 3$

Directriz: $y = - \frac{209}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 18 \\ - 4 & - 24 \\ - 3 & - 26 \\ - 2 & - 24 \\ - 1 & - 18 \end{array}$

Paso 4