Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{10 \ln (x - 1)}{x}$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Obtén dónde la expresión $\frac{\ln ({(x - 1)}^{10})}{x}$ no está definida.

$x = 0, x = 1$

Paso 1.2

Como $\frac{\ln ({(x - 1)}^{10})}{x}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $1$ desde la izquierda y $\frac{\ln ({(x - 1)}^{10})}{x}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $1$ desde la derecha, entonces $x = 1$ es una asíntota vertical.

$x = 1$

Paso 1.3

Ignora el logaritmo y considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 1.4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

Paso 1.5

Como $n < m$ , el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

$y = 0$

Paso 1.6

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 1$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Asíntotas verticales: $x = 1$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Paso 2

Obtén el punto en $x = 2$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{10 \ln ((2) - 1)}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $2$ de $10 \ln ((2) - 1)$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \ln ((2) - 1))}{2}$

Paso 2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \ln ((2) - 1))}{2 (1)}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (2) = \frac{2 (5 \ln ((2) - 1))}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) - 1)}{1}$

Paso 2.2.1.2.4

Divide $5 \ln ((2) - 1)$ por $1$ .

$f (2) = 5 \ln ((2) - 1)$

Paso 2.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$f (2) = 5 \ln (1)$

Paso 2.2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (2) = 5 \cdot 0$

Paso 2.2.4

Multiplica $5$ por $0$ .

$f (2) = 0$

Paso 2.2.5

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.3

Convierte $0$ a decimal.

$y = 0$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 3$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{10 \ln ((3) - 1)}{3}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica $10 \ln (3 - 1)$ al mover $10$ dentro del algoritmo.

$f (3) = \frac{\ln ({(3 - 1)}^{10})}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.2.1

Resta $1$ de $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (2^{10})}{3}$

Paso 3.2.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $10$ .

$f (3) = \frac{\ln (1024)}{3}$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{\ln (1024)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (1024)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (1024)$

Paso 3.2.4

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (1024)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$f (3) = \ln (1024^{\frac{1}{3}})$

Paso 3.2.5

La respuesta final es $\ln (1024^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (1024^{\frac{1}{3}})$

Paso 3.3

Convierte $\ln (1024^{\frac{1}{3}})$ a decimal.

$y = 2.3104906$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 4$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{10 \ln ((4) - 1)}{4}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $10$ y $4$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $2$ de $10 \ln ((4) - 1)$ .

$f (4) = \frac{2 (5 \ln ((4) - 1))}{4}$

Paso 4.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (4) = \frac{2 (5 \ln ((4) - 1))}{2 (2)}$

Paso 4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (4) = \frac{2 (5 \ln ((4) - 1))}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (4) = \frac{5 \ln ((4) - 1)}{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica $5 \ln (4 - 1)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$f (4) = \frac{\ln ({(4 - 1)}^{5})}{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1

Resta $1$ de $4$ .

$f (4) = \frac{\ln (3^{5})}{2}$

Paso 4.2.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$f (4) = \frac{\ln (243)}{2}$

Paso 4.2.4

Reescribe $\frac{\ln (243)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (243)$ .

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot \ln (243)$

Paso 4.2.5

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (243)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$f (4) = \ln (243^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.2.6

La respuesta final es $\ln (243^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln (243^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.3

Convierte $\ln (243^{\frac{1}{2}})$ a decimal.

$y = 2.74653072$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = 1$ y los puntos $(2, 0), (3, 2.3104906), (4, 2.74653072)$ .

Asíntota vertical: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 0 \\ 3 & 2.31 \\ 4 & 2.747 \end{array}$

Paso 6