Cálculo Ejemplos

$x \sqrt{64 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén el dominio para $y = x \sqrt{64 - x^{2}}$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar el radical.

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(8 + x) (8 - x) \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$8 + x = 0$

$8 - x = 0$

Paso 1.2.2

Establece $8 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.2.1

Establece $8 + x$ igual a $0$ .

$8 + x = 0$

Paso 1.2.2.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 8$

Paso 1.2.3

Establece $8 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Establece $8 - x$ igual a $0$ .

$8 - x = 0$

Paso 1.2.3.2

Resuelve $8 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 8$

Paso 1.2.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.2.3.1

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$x = 8$

Paso 1.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(8 + x) (8 - x) \geq 0$ verdadera.

$x = - 8, 8$

Paso 1.2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 8$

$- 8 < x < 8$

$x > 8$

Paso 1.2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 1.2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$(8 - 10) (8 - (- 10)) \geq 0$

Paso 1.2.6.1.3

$- 36$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 8 < x < 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 8 < x < 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(8 + 0) (8 - (0)) \geq 0$

Paso 1.2.6.2.3

$64$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.2.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 1.2.6.3.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$(8 + 10) (8 - (10)) \geq 0$

Paso 1.2.6.3.3

$- 36$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.2.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < 8$ Verdadero

$x > 8$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < 8$ Verdadero

$x > 8$ Falso

Paso 1.2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 8 \leq x \leq 8$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 8, 8]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 8 \leq x \leq 8}$

Notación de intervalo:

$[- 8, 8]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 8 \leq x \leq 8}$

Paso 2

Para obtener los extremos, sustituye las cotas de los valores de $x$ del dominio en $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 8$ en la expresión.

$f (- 8) = - 8 \sqrt{(8 - 8) (8 - (- 8))}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 8) = - 8 \sqrt{(8 - 8) (8 - (- 8))}$

Paso 2.2.2

Resta $8$ de $8$ .

$f (- 8) = - 8 \sqrt{0 (8 - (- 8))}$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$f (- 8) = - 8 \sqrt{0 (8 + 8)}$

Paso 2.2.4

Suma $8$ y $8$ .

$f (- 8) = - 8 \sqrt{0 \cdot 16}$

Paso 2.2.5

Multiplica $0$ por $16$ .

$f (- 8) = - 8 \sqrt{0}$

Paso 2.2.6

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (- 8) = - 8 \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.2.7

Multiplica por cero.

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Paso 2.2.7.1

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 8) = - 8 \cdot 0$

Paso 2.2.7.2

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$f (- 8) = 0$

Paso 2.2.8

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.3

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f (8) = 8 \sqrt{(8 + 8) (8 - (8))}$

Paso 2.4

Simplifica el resultado.

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Paso 2.4.1

Elimina los paréntesis.

$f (8) = 8 \sqrt{(8 + 8) (8 - (8))}$

Paso 2.4.2

Suma $8$ y $8$ .

$f (8) = 8 \sqrt{16 (8 - (8))}$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f (8) = 8 \sqrt{16 (8 - 8)}$

Paso 2.4.4

Resta $8$ de $8$ .

$f (8) = 8 \sqrt{16 \cdot 0}$

Paso 2.4.5

Multiplica $16$ por $0$ .

$f (8) = 8 \sqrt{0}$

Paso 2.4.6

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (8) = 8 \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.7

Multiplica por cero.

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Paso 2.4.7.1

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (8) = 8 \cdot 0$

Paso 2.4.7.2

Multiplica $8$ por $0$ .

$f (8) = 0$

Paso 2.4.8

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3

Los extremos son $(- 8, 0), (8, 0)$ .

$(- 8, 0), (8, 0)$

Paso 4

Selecciona algunos valores de $x$ del dominio. Sería más útil seleccionar los valores para que estén próximos al valor $x$ del extremo de la expresión radical.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $- 5$ en $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ . En este caso, el punto es $(- 5, - 5 \sqrt{39})$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = - 5 \sqrt{(8 - 5) (8 - (- 5))}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 5) = - 5 \sqrt{(8 - 5) (8 - (- 5))}$

Paso 4.1.2.2

Resta $5$ de $8$ .

$f (- 5) = - 5 \sqrt{3 (8 - (- 5))}$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f (- 5) = - 5 \sqrt{3 (8 + 5)}$

Paso 4.1.2.4

Suma $8$ y $5$ .

$f (- 5) = - 5 \sqrt{3 \cdot 13}$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $3$ por $13$ .

$f (- 5) = - 5 \sqrt{39}$

Paso 4.1.2.6

La respuesta final es $- 5 \sqrt{39}$ .

$y = - 5 \sqrt{39}$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $- 2$ en $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ . En este caso, el punto es $(- 2, - 4 \sqrt{15})$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(8 - 2) (8 - (- 2))}$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(8 - 2) (8 - (- 2))}$

Paso 4.2.2.2

Resta $2$ de $8$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{6 (8 - (- 2))}$

Paso 4.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{6 (8 + 2)}$

Paso 4.2.2.4

Suma $8$ y $2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{6 \cdot 10}$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $6$ por $10$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{60}$

Paso 4.2.2.6

Reescribe $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

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Paso 4.2.2.6.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{4 (15)}$

Paso 4.2.2.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 15}$

Paso 4.2.2.7

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- 2) = - 2 (2 \sqrt{15})$

Paso 4.2.2.8

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 4 \sqrt{15}$

Paso 4.2.2.9

La respuesta final es $- 4 \sqrt{15}$ .

$y = - 4 \sqrt{15}$

Paso 4.3

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ . En este caso, el punto es $(1, 3 \sqrt{7})$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 1 \sqrt{(8 + 1) (8 - (1))}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (1) = 1 \sqrt{(8 + 1) (8 - (1))}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $\sqrt{(8 + 1) (8 - (1))}$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{(8 + 1) (8 - (1))}$

Paso 4.3.2.3

Suma $8$ y $1$ .

$f (1) = \sqrt{9 (8 - (1))}$

Paso 4.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{9 (8 - 1)}$

Paso 4.3.2.5

Resta $1$ de $8$ .

$f (1) = \sqrt{9 \cdot 7}$

Paso 4.3.2.6

Multiplica $9$ por $7$ .

$f (1) = \sqrt{63}$

Paso 4.3.2.7

Reescribe $63$ como $3^{2} \cdot 7$ .

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Paso 4.3.2.7.1

Factoriza $9$ de $63$ .

$f (1) = \sqrt{9 (7)}$

Paso 4.3.2.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (1) = \sqrt{3^{2} \cdot 7}$

Paso 4.3.2.8

Retira los términos de abajo del radical.

$f (1) = 3 \sqrt{7}$

Paso 4.3.2.9

La respuesta final es $3 \sqrt{7}$ .

$y = 3 \sqrt{7}$

Paso 4.4

Sustituye el valor $x$ $4$ en $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ . En este caso, el punto es $(4, 16 \sqrt{3})$ .

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Paso 4.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = 4 \sqrt{(8 + 4) (8 - (4))}$

Paso 4.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (4) = 4 \sqrt{(8 + 4) (8 - (4))}$

Paso 4.4.2.2

Suma $8$ y $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{12 (8 - (4))}$

Paso 4.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{12 (8 - 4)}$

Paso 4.4.2.4

Resta $4$ de $8$ .

$f (4) = 4 \sqrt{12 \cdot 4}$

Paso 4.4.2.5

Multiplica $12$ por $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{48}$

Paso 4.4.2.6

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.4.2.6.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$f (4) = 4 \sqrt{16 (3)}$

Paso 4.4.2.6.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f (4) = 4 \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Paso 4.4.2.7

Retira los términos de abajo del radical.

$f (4) = 4 (4 \sqrt{3})$

Paso 4.4.2.8

Multiplica $4$ por $4$ .

$f (4) = 16 \sqrt{3}$

Paso 4.4.2.9

La respuesta final es $16 \sqrt{3}$ .

$y = 16 \sqrt{3}$

Paso 4.5

Sustituye el valor $x$ $7$ en $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ . En este caso, el punto es $(7, 7 \sqrt{15})$ .

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Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f (7) = 7 \sqrt{(8 + 7) (8 - (7))}$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.5.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (7) = 7 \sqrt{(8 + 7) (8 - (7))}$

Paso 4.5.2.2

Suma $8$ y $7$ .

$f (7) = 7 \sqrt{15 (8 - (7))}$

Paso 4.5.2.3

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f (7) = 7 \sqrt{15 (8 - 7)}$

Paso 4.5.2.4

Resta $7$ de $8$ .

$f (7) = 7 \sqrt{15 \cdot 1}$

Paso 4.5.2.5

Multiplica $15$ por $1$ .

$f (7) = 7 \sqrt{15}$

Paso 4.5.2.6

La respuesta final es $7 \sqrt{15}$ .

$y = 7 \sqrt{15}$

Paso 4.6

La raíz cuadrada puede representarse de manera gráfica mediante los puntos alrededor del vértice $(- 8, 0), (8, 0), (- 5, - 31.22), (- 2, - 15.49), (1, 7.94), (4, 27.71), (7, 27.11)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & 0 \\ - 5 & - 31.22 \\ - 2 & - 15.49 \\ 1 & 7.94 \\ 4 & 27.71 \\ 7 & 27.11 \\ 8 & 0 \end{array}$

Paso 5