Cálculo Ejemplos

$y = 7 x - x^{2}$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Reordena $7 x$ y $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 7 x$

Paso 1.1.2

Completa el cuadrado de $- x^{2} + 7 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 7$

$c = 0$

Paso 1.1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{7}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$d = \frac{7}{- 2}$

Paso 1.1.2.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{7}{2}$

Paso 1.1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{7^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.4.2.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{49}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{49}{- 4}$

Paso 1.1.2.4.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 0 - - \frac{49}{4}$

Paso 1.1.2.4.2.1.4

Multiplica $- - \frac{49}{4}$ .

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Paso 1.1.2.4.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{49}{4})$

Paso 1.1.2.4.2.1.4.2

Multiplica $\frac{49}{4}$ por $1$ .

$e = 0 + \frac{49}{4}$

Paso 1.1.2.4.2.2

Suma $0$ y $\frac{49}{4}$ .

$e = \frac{49}{4}$

Paso 1.1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$ .

$- {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$

Paso 1.1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = \frac{7}{2}$

$k = \frac{49}{4}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{7}{2}, \frac{49}{4})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.5.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{7}{2}, 12)$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{7}{2}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{25}{2}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(\frac{7}{2}, \frac{49}{4})$

Foco: $(\frac{7}{2}, 12)$

Eje de simetría: $x = \frac{7}{2}$

Directriz: $y = \frac{25}{2}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(\frac{7}{2}, \frac{49}{4})$

Foco: $(\frac{7}{2}, 12)$

Eje de simetría: $x = \frac{7}{2}$

Directriz: $y = \frac{25}{2}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 7 (3)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 7 (3)$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f (3) = - 9 + 7 (3)$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $7$ por $3$ .

$f (3) = - 9 + 21$

Paso 2.2.2

Suma $- 9$ y $21$ .

$f (3) = 12$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $12$ .

$12$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 3$ es $12$ .

$y = 12$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 7 (2)$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 7 (2)$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (2) = - 4 + 7 (2)$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $7$ por $2$ .

$f (2) = - 4 + 14$

Paso 2.5.2

Suma $- 4$ y $14$ .

$f (2) = 10$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $10$ .

$10$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 2$ es $10$ .

$y = 10$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = - {(5)}^{2} + 7 (5)$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 7 (5)$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f (5) = - 25 + 7 (5)$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $7$ por $5$ .

$f (5) = - 25 + 35$

Paso 2.8.2

Suma $- 25$ y $35$ .

$f (5) = 10$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $10$ .

$10$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 5$ es $10$ .

$y = 10$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = - {(6)}^{2} + 7 (6)$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 7 (6)$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$f (6) = - 36 + 7 (6)$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $7$ por $6$ .

$f (6) = - 36 + 42$

Paso 2.11.2

Suma $- 36$ y $42$ .

$f (6) = 6$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 6$ es $6$ .

$y = 6$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 10 \\ 3 & 12 \\ \frac{7}{2} & \frac{49}{4} \\ 5 & 10 \\ 6 & 6 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(\frac{7}{2}, \frac{49}{4})$

Foco: $(\frac{7}{2}, 12)$

Eje de simetría: $x = \frac{7}{2}$

Directriz: $y = \frac{25}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 10 \\ 3 & 12 \\ \frac{7}{2} & \frac{49}{4} \\ 5 & 10 \\ 6 & 6 \end{array}$

Paso 4