Cálculo Ejemplos

$y = x \sqrt{8 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén el dominio para $y = x \sqrt{8 - x^{2}}$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar el radical.

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{8 - x^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$8 - x^{2} \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} \geq - 8$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $- x^{2} \geq - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término de $- x^{2} \geq - 8$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Paso 1.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 8$

Paso 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

Paso 1.2.4

Simplifica la ecuación.

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Paso 1.2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt{8}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica $\sqrt{8}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

Paso 1.2.4.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

Paso 1.2.5

Escribe $| x | \leq 2 \sqrt{2}$ como una función definida por partes.

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Paso 1.2.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 1.2.5.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq 2 \sqrt{2}$

Paso 1.2.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 1.2.5.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

Paso 1.2.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Paso 1.2.6

Obtén la intersección de $x \leq 2 \sqrt{2}$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Paso 1.2.7

Resuelve $- x \leq 2 \sqrt{2}$ cuando $x < 0$ .

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Paso 1.2.7.1

Divide cada término en $- x \leq 2 \sqrt{2}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.7.1.1

Divide cada término de $- x \leq 2 \sqrt{2}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Paso 1.2.7.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.7.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Paso 1.2.7.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Paso 1.2.7.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.7.1.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Paso 1.2.7.1.3.2

Reescribe $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ como $- (2 \sqrt{2})$ .

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

Paso 1.2.7.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

Paso 1.2.7.2

Obtén la intersección de $x \geq - 2 \sqrt{2}$ y $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

Paso 1.2.8

Obtén la unión de las soluciones.

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Notación de intervalo:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Paso 2

Para obtener los extremos, sustituye las cotas de los valores de $x$ del dominio en $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2 \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (- 2 \sqrt{2}) = (- 2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Paso 2.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

Paso 2.2.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 2.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Paso 2.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Paso 2.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Paso 2.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Paso 2.2.2.5

Evalúa el exponente.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Paso 2.2.3

Multiplica $- (4 \cdot 2)$ .

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

Paso 2.2.4

Resta $8$ de $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

Paso 2.2.5

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.2.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \cdot 0$

Paso 2.2.7

Multiplica $- 2 \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Paso 2.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Paso 2.2.7.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0$

Paso 2.2.8

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.3

Reemplaza la variable $x$ con $2 \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (2 \sqrt{2}) = (2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica el resultado.

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Paso 2.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (2^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Paso 2.4.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

Paso 2.4.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 2.4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Paso 2.4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Paso 2.4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Paso 2.4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Paso 2.4.2.5

Evalúa el exponente.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Paso 2.4.3

Multiplica $- (4 \cdot 2)$ .

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

Paso 2.4.4

Resta $8$ de $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

Paso 2.4.5

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \cdot 0$

Paso 2.4.7

Multiplica $2 \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Paso 2.4.7.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Paso 2.4.7.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 0$

Paso 2.4.8

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3

Los extremos son $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$ .

$(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$

Paso 4

Selecciona algunos valores de $x$ del dominio. Sería más útil seleccionar los valores para que estén próximos al valor $x$ del extremo de la expresión radical.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $- 1.82842712$ en $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . En este caso, el punto es $(- 1.82842712, - 3.94569924)$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.82842712$ en la expresión.

$f (- 1.82842712) = (- 1.82842712) \sqrt{8 - {(- 1.82842712)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $- 1.82842712$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 3.34314575}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3.34314575$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 3.34314575}$

Paso 4.1.2.1.3

Resta $3.34314575$ de $8$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{4.65685424}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 1.82842712$ por $\sqrt{4.65685424}$ .

$f (- 1.82842712) = - 3.94569924$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $- 3.94569924$ .

$y = - 3.94569924$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $- 0.82842712$ en $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . En este caso, el punto es $(- 0.82842712, - 2.24038746)$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.82842712$ en la expresión.

$f (- 0.82842712) = (- 0.82842712) \sqrt{8 - {(- 0.82842712)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $- 0.82842712$ a la potencia de $2$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.6862915}$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0.6862915$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 0.6862915}$

Paso 4.2.2.1.3

Resta $0.6862915$ de $8$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{7.31370849}$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $- 0.82842712$ por $\sqrt{7.31370849}$ .

$f (- 0.82842712) = - 2.24038746$

Paso 4.2.2.3

La respuesta final es $- 2.24038746$ .

$y = - 2.24038746$

Paso 4.3

Sustituye el valor $x$ $0.17157287$ en $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . En este caso, el punto es $(0.17157287, 0.48438771)$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.17157287$ en la expresión.

$f (0.17157287) = (0.17157287) \sqrt{8 - {(0.17157287)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $0.17157287$ a la potencia de $2$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.02943725}$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0.02943725$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 0.02943725}$

Paso 4.3.2.1.3

Resta $0.02943725$ de $8$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{7.97056274}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $0.17157287$ por $\sqrt{7.97056274}$ .

$f (0.17157287) = 0.48438771$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $0.48438771$ .

$y = 0.48438771$

Paso 4.4

Sustituye el valor $x$ $1.17157287$ en $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . En este caso, el punto es $(1.17157287, 3.01607027)$ .

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Paso 4.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.17157287$ en la expresión.

$f (1.17157287) = (1.17157287) \sqrt{8 - {(1.17157287)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.2.1.1

Eleva $1.17157287$ a la potencia de $2$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 1.372583}$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1.372583$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1.372583}$

Paso 4.4.2.1.3

Resta $1.372583$ de $8$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{6.62741699}$

Paso 4.4.2.2

Multiplica $1.17157287$ por $\sqrt{6.62741699}$ .

$f (1.17157287) = 3.01607027$

Paso 4.4.2.3

La respuesta final es $3.01607027$ .

$y = 3.01607027$

Paso 4.5

Sustituye el valor $x$ $2.17157287$ en $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . En este caso, el punto es $(2.17157287, 3.93544563)$ .

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Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.17157287$ en la expresión.

$f (2.17157287) = (2.17157287) \sqrt{8 - {(2.17157287)}^{2}}$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.2.1.1

Eleva $2.17157287$ a la potencia de $2$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 4.71572875}$

Paso 4.5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4.71572875$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 4.71572875}$

Paso 4.5.2.1.3

Resta $4.71572875$ de $8$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{3.28427124}$

Paso 4.5.2.2

Multiplica $2.17157287$ por $\sqrt{3.28427124}$ .

$f (2.17157287) = 3.93544563$

Paso 4.5.2.3

La respuesta final es $3.93544563$ .

$y = 3.93544563$

Paso 4.6

La raíz cuadrada puede representarse de manera gráfica mediante los puntos alrededor del vértice $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0), (- 1.82842712, - 3.95), (- 0.82842712, - 2.24), (0.17157287, 0.48), (1.17157287, 3.02), (2.17157287, 3.94)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 \sqrt{2} & 0 \\ - 1.828 & - 3.95 \\ - 0.828 & - 2.24 \\ 0.172 & 0.48 \\ 1.172 & 3.02 \\ 2.172 & 3.94 \\ 2 \sqrt{2} & 0 \end{array}$

Paso 5