Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

Paso 1

Obtén el dominio para $y = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar el radical.

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{2 x - 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 x - 1 \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$2 x \geq 1$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $2 x \geq 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $2 x \geq 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Paso 1.3

Establece el denominador en $\frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 x - 1 = 0$

Paso 1.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 1.4.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.4.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 1.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(\frac{1}{2}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > \frac{1}{2}}$

Notación de intervalo:

$(\frac{1}{2}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > \frac{1}{2}}$

Paso 2

Para obtener el extremo de la expresión con radicales, sustituye el valor $x$ $\frac{1}{2}$ , que es el menor valor en el dominio, en $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{1 - 1}$

Paso 2.3

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{0}$

Paso 2.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

$f (\frac{1}{2}) = Undefined$

Indefinida

Paso 3

El extremo de la expresión radical es $(\frac{1}{2}, Undefined)$ .

$(\frac{1}{2}, Undefined)$

Paso 4

Selecciona algunos valores de $x$ del dominio. Sería más útil seleccionar los valores para que estén próximos al valor $x$ del extremo de la expresión radical.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ . En este caso, el punto es $(1, 1)$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{(1) \sqrt{2 (1) - 1}}{2 (1) - 1}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $\sqrt{2 (1) - 1}$ por $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{2 (1) - 1}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{2 - 1}$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{1}$

Paso 4.1.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 - 1}}{1}$

Paso 4.1.2.3.2

Resta $1$ de $2$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{1}}{1}$

Paso 4.1.2.3.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1}$

Paso 4.1.2.4

Divide $1$ por $1$ .

$f (1) = 1$

Paso 4.1.2.5

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ . En este caso, el punto es $(2, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{(2) \sqrt{2 (2) - 1}}{2 (2) - 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{4 - 1}}{2 (2) - 1}$

Paso 4.2.2.1.2

Resta $1$ de $4$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{2 (2) - 1}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{4 - 1}$

Paso 4.2.2.2.2

Resta $1$ de $4$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.2.3

La respuesta final es $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.3

Sustituye el valor $x$ $3$ en $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ . En este caso, el punto es $(3, \frac{3 \sqrt{5}}{5})$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{(3) \sqrt{2 (3) - 1}}{2 (3) - 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{6 - 1}}{2 (3) - 1}$

Paso 4.3.2.1.2

Resta $1$ de $6$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{2 (3) - 1}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.2.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{6 - 1}$

Paso 4.3.2.2.2

Resta $1$ de $6$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Paso 4.4

La raíz cuadrada puede representarse de manera gráfica mediante los puntos alrededor del vértice $(0.5, Undefined), (1, 1), (2, 1.15), (3, 1.34)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0.5 & Undefined \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.15 \\ 3 & 1.34 \end{array}$

Paso 5