Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + x}$

Paso 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{x^{2} + x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} + x \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + x = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Paso 1.2.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Paso 1.2.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1$

Paso 1.2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Paso 1.2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 1.2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{2} - 4 \geq 0$

Paso 1.2.8.1.3

$12$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.5$

Paso 1.2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $- 0.5$ en la desigualdad original.

${(- 0.5)}^{2} - 0.5 \geq 0$

Paso 1.2.8.2.3

$- 0.25$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 1.2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

${(2)}^{2} + 2 \geq 0$

Paso 1.2.8.3.3

$6$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

Paso 1.2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 1$ o $x \geq 0$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

Paso 2

Como el dominio no son todos números reales, $\sqrt{x^{2} + x}$ no es continua en todos los números reales.

No es continua

Paso 3