Cálculo Ejemplos

$y = t^{7} {(t^{5} - 6)}^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t^{7} {(t^{5} - 6)}^{3})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $t$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t^{7}$ y $g (t) = {(t^{5} - 6)}^{3}$ .

$t^{7} \frac{d}{d t} [{(t^{5} - 6)}^{3}] + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = t^{5} - 6$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{5} - 6$ .

$t^{7} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$t^{7} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{5} - 6$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{5} - 6$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 6]$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 6])) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 6])) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Paso 3.3.3

Como $- 6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $t$ es $0$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4} + 0)) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Paso 3.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.4.1

Suma $5 t^{4}$ y $0$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4})) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Paso 3.3.4.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$t^{7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2} t^{4}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Paso 3.4

Multiplica $t^{7}$ por $t^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $t^{4}$ .

$t^{4} t^{7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Paso 3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$t^{4 + 7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Paso 3.4.3

Suma $4$ y $7$ .

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} (7 t^{6})$

Paso 3.6

Mueve $7$ a la izquierda de ${(t^{5} - 6)}^{3}$ .

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + 7 \cdot {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Factoriza $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ de $t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + 7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$ .

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Paso 3.7.1.1

Factoriza $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ de $t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2})$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + 7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$

Paso 3.7.1.2

Factoriza $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ de $7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.1.3

Factoriza $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ de $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (7 (t^{5} - 6))$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15) + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.2

Mueve $15$ a la izquierda de $t^{5}$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.3

Reescribe ${(t^{5} - 6)}^{2}$ como $(t^{5} - 6) (t^{5} - 6)$ .

$t^{6} ((t^{5} - 6) (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.4

Expande $(t^{5} - 6) (t^{5} - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.7.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$t^{6} (t^{5} (t^{5} - 6) - 6 (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$t^{6} (t^{5} t^{5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$t^{6} (t^{5} t^{5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.7.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.7.5.1.1

Multiplica $t^{5}$ por $t^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.5.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$t^{6} (t^{5 + 5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.5.1.1.2

Suma $5$ y $5$ .

$t^{6} (t^{10} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.5.1.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de $t^{5}$ .

$t^{6} (t^{10} - 6 \cdot t^{5} - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.5.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$t^{6} (t^{10} - 6 t^{5} - 6 t^{5} + 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.5.2

Resta $6 t^{5}$ de $- 6 t^{5}$ .

$t^{6} (t^{10} - 12 t^{5} + 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(t^{6} t^{10} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.7

Simplifica.

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Paso 3.7.7.1

Multiplica $t^{6}$ por $t^{10}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.7.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(t^{6 + 10} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.7.1.2

Suma $6$ y $10$ .

$(t^{16} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(t^{16} - 12 t^{6} t^{5} + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.7.3

Mueve $36$ a la izquierda de $t^{6}$ .

$(t^{16} - 12 t^{6} t^{5} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.8

Multiplica $t^{6}$ por $t^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.8.1

Mueve $t^{5}$ .

$(t^{16} - 12 (t^{5} t^{6}) + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(t^{16} - 12 t^{5 + 6} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.8.3

Suma $5$ y $6$ .

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Paso 3.7.9

Simplifica cada término.

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Paso 3.7.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 t^{5} + 7 \cdot - 6)$

Paso 3.7.9.2

Multiplica $7$ por $- 6$ .

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 t^{5} - 42)$

Paso 3.7.10

Suma $15 t^{5}$ y $7 t^{5}$ .

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (22 t^{5} - 42)$

Paso 3.7.11

Expande $(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (22 t^{5} - 42)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$t^{16} (22 t^{5}) + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12

Simplifica cada término.

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Paso 3.7.12.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$22 t^{16} t^{5} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.2

Multiplica $t^{16}$ por $t^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.12.2.1

Mueve $t^{5}$ .

$22 (t^{5} t^{16}) + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$22 t^{5 + 16} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.2.3

Suma $5$ y $16$ .

$22 t^{21} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.3

Mueve $- 42$ a la izquierda de $t^{16}$ .

$22 t^{21} - 42 \cdot t^{16} - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{11} t^{5} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.5

Multiplica $t^{11}$ por $t^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.12.5.1

Mueve $t^{5}$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 (t^{5} t^{11}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{5 + 11} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.5.3

Suma $5$ y $11$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{16} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.6

Multiplica $- 12$ por $22$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.7

Multiplica $- 42$ por $- 12$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{6} t^{5} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.9

Multiplica $t^{6}$ por $t^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.12.9.1

Mueve $t^{5}$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 (t^{5} t^{6}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.9.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{5 + 6} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.9.3

Suma $5$ y $6$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{11} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.10

Multiplica $36$ por $22$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Paso 3.7.12.11

Multiplica $- 42$ por $36$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} - 1512 t^{6}$

Paso 3.7.13

Resta $264 t^{16}$ de $- 42 t^{16}$ .

$22 t^{21} - 306 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} - 1512 t^{6}$

Paso 3.7.14

Suma $504 t^{11}$ y $792 t^{11}$ .

$22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$