Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} - 9 x - 2}{3 x^{2} + x - 7}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 9 x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 9 x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2.1.1.2

Divide $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{- 9 x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x$ de $- 9 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot - 9}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot - 9}{x \cdot x} + \frac{- 2}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot - 9}{x \cdot x} + \frac{- 2}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{- 9}{x} + \frac{- 2}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{9}{x} + \frac{- 2}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{9}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{9}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2.2.1.2

Divide $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{9}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{3 + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{9}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{3 + \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{9}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{9}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{9}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{9}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Paso 2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{9}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{9}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}}}$

Paso 2.6

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 - 9 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}}}$

Paso 4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 - 9 \cdot 0 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 - 9 \cdot 0 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{4 - 9 \cdot 0 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4 - 9 \cdot 0 - 2 \cdot 0}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 - 9 \cdot 0 - 2 \cdot 0}{3 + 0 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}$

Paso 8

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 - 9 \cdot 0 - 2 \cdot 0}{3 + 0 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 - 9 \cdot 0 - 2 \cdot 0}{3 + 0 - 7 \cdot 0}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Multiplica $- 9$ por $0$ .

$\frac{4 + 0 - 2 \cdot 0}{3 + 0 - 7 \cdot 0}$

Paso 10.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{4 + 0 + 0}{3 + 0 - 7 \cdot 0}$

Paso 10.1.3

Suma $4 + 0$ y $0$ .

$\frac{4 + 0}{3 + 0 - 7 \cdot 0}$

Paso 10.1.4

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{4}{3 + 0 - 7 \cdot 0}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Multiplica $- 7$ por $0$ .

$\frac{4}{3 + 0 + 0}$

Paso 10.2.2

Suma $3 + 0$ y $0$ .

$\frac{4}{3 + 0}$

Paso 10.2.3

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{4}{3}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{4}{3}$

Forma decimal:

$1.\overline{3}$