Cálculo Ejemplos

$x = 3 y^{2} - 4 y$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $3 y^{2} - 4 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 3$

$b = - 4$

$c = 0$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 3}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (3)}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{3}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{2}{3}$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.2.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.2.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 3}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 3}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 3}$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 3}$

Paso 1.1.1.4.2.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

Paso 1.1.1.4.2.1.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.2.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 3$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (3)}$

Paso 1.1.1.4.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

Paso 1.1.1.4.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{3}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Resta $\frac{4}{3}$ de $0$ .

$e = - \frac{4}{3}$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $3 {(y - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{3}$ .

$3 {(y - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{3}$

Paso 1.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = 3 {(y - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{3}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 3$

$h = - \frac{4}{3}$

$k = \frac{2}{3}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Paso 1.5.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{1}{12}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{5}{4}, \frac{2}{3})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = \frac{2}{3}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{17}{12}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- \frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

Foco: $(- \frac{5}{4}, \frac{2}{3})$

Eje de simetría: $y = \frac{2}{3}$

Directriz: $x = - \frac{17}{12}$

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- \frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

Foco: $(- \frac{5}{4}, \frac{2}{3})$

Eje de simetría: $y = \frac{2}{3}$

Directriz: $x = - \frac{17}{12}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Sustituye el valor $x$ $- 0.\overline{3}$ en $f (x) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 - 3 x)}}{3}$ . En este caso, el punto es $(- 0.33333333, \frac{2 + \sqrt{3}}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.\overline{3}$ en la expresión.

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 - 3 \cdot - 0.\overline{3})}}{3}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $- 0.\overline{3}$ .

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 + 1)}}{3}$

Paso 2.1.2.1.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 \cdot - 3}}{3}$

Paso 2.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 + \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{2 + \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{2 + \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2

Sustituye el valor $x$ $- 0.\overline{3}$ en $f (x) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 - 3 x)}}{3}$ . En este caso, el punto es $(- 0.33333333, \frac{2 - \sqrt{3}}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.\overline{3}$ en la expresión.

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 - 3 \cdot - 0.\overline{3})}}{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $- 0.\overline{3}$ .

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 + 1)}}{3}$

Paso 2.2.2.1.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 \cdot - 3}}{3}$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f (- 0.\overline{3}) = \frac{2 - \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2.2.2

La respuesta final es $\frac{2 - \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{2 - \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3

Sustituye el valor $x$ $0.\overline{6}$ en $f (x) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 - 3 x)}}{3}$ . En este caso, el punto es $(0.\overline{6}, \frac{2 + \sqrt{6}}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.\overline{6}$ en la expresión.

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 - 3 \cdot 0.\overline{6})}}{3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $0.\overline{6}$ .

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 4 - 2)}}{3}$

Paso 2.3.2.1.2

Resta $2$ de $- 4$ .

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 + \sqrt{- 1 \cdot - 6}}{3}$

Paso 2.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Paso 2.3.2.2

La respuesta final es $\frac{2 + \sqrt{6}}{3}$ .

$y = \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Paso 2.4

Sustituye el valor $x$ $0.\overline{6}$ en $f (x) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 - 3 x)}}{3}$ . En este caso, el punto es $(0.\overline{6}, \frac{2 - \sqrt{6}}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.\overline{6}$ en la expresión.

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 - 3 \cdot 0.\overline{6})}}{3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $0.\overline{6}$ .

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 4 - 2)}}{3}$

Paso 2.4.2.1.2

Resta $2$ de $- 4$ .

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 - \sqrt{- 1 \cdot - 6}}{3}$

Paso 2.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$f (0.\overline{6}) = \frac{2 - \sqrt{6}}{3}$

Paso 2.4.2.2

La respuesta final es $\frac{2 - \sqrt{6}}{3}$ .

$y = \frac{2 - \sqrt{6}}{3}$

Paso 2.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{4}{3} & \frac{2}{3} \\ - 0.333 & 1.24 \\ - 0.333 & 0.09 \\ 0.667 & 1.48 \\ 0.667 & - 0.15 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- \frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

Foco: $(- \frac{5}{4}, \frac{2}{3})$

Eje de simetría: $y = \frac{2}{3}$

Directriz: $x = - \frac{17}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{4}{3} & \frac{2}{3} \\ - 0.333 & 1.24 \\ - 0.333 & 0.09 \\ 0.667 & 1.48 \\ 0.667 & - 0.15 \end{array}$

Paso 4