Cálculo Ejemplos

$y = \frac{5 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 11$ y $g (x) = 2 x + 4$ .

$\frac{(2 x + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 9 x + 11] - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - 9 x + 11$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{(2 x + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 x + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(2 x + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $11$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + 0) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.9

Suma $10 x - 9$ y $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.10

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.11

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.13

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.14

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 + 0)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.15

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.15.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \cdot 2}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.15.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2} - 9 x + 11)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Expande $(2 x + 4) (10 x - 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x (10 x - 9) + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 \cdot 10 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 \cdot 10 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 10 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{20 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.2.1.4

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.2.1.5

Multiplica $10$ por $4$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.2.1.6

Multiplica $4$ por $- 9$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Suma $- 18 x$ y $40 x$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $- 9$ por $- 2$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $11$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Resta $10 x^{2}$ de $20 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} + 22 x - 36 + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.3

Suma $22 x$ y $18 x$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 36 - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2.4

Resta $22$ de $- 36$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Factoriza $2$ de $10 x^{2} + 40 x - 58$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $2$ de $10 x^{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 40 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.3.2

Factoriza $2$ de $40 x$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.3.3

Factoriza $2$ de $- 58$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.3.4

Factoriza $2$ de $2 (5 x^{2}) + 2 (20 x)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.3.5

Factoriza $2$ de $2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 29)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.4.1

Factoriza $2$ de $2 x + 4$ .

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Paso 3.3.4.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 (x) + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 x + 2 \cdot 2)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 (x + 2))}^{2}}$

Paso 3.3.4.2

Aplica la regla del producto a $2 (x + 2)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{2^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.4.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{4 {(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.5.1

Factoriza $2$ de $4 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

Paso 3.3.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

Paso 3.3.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 x^{2} + 20 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{5 x^{2} + 20 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} + 20 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$