Cálculo Ejemplos

$x^{4} + 3 x^{3} y^{2} = x - y^{4}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + 3 x^{3} y^{2}) = \frac{d}{d x} (x - y^{4})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 3 x^{3} y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3} y^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

$4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y^{2}$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2}))$

Paso 2.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$4 x^{3} + 3 (2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2}))$

Paso 2.2.7

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 3 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2})$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{3} + 3 (2 x^{3} y y') + 3 (3 y^{2} x^{2})$

Paso 2.3.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$4 x^{3} + 6 (x^{3} y y') + 3 (3 y^{2} x^{2})$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 y^{2} x^{2}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{4}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$1 - (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$1 - (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - (4 y^{3} y')$

Paso 3.2.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$1 - 4 y^{3} y'$

Paso 3.3

Reordena los términos.

$- 4 y^{3} y' + 1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} = - 4 y^{3} y' + 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $4 y^{3} y'$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} y' = 1$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $4 x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3}$

Paso 5.2.2

Resta $9 x^{2} y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x^{3} y y' + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

Paso 5.3

Factoriza $2 y y'$ de $6 x^{3} y y' + 4 y^{3} y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $2 y y'$ de $6 x^{3} y y'$ .

$2 y y' (3 x^{3}) + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

Paso 5.3.2

Factoriza $2 y y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$2 y y' (3 x^{3}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $2 y y'$ de $2 y y' (3 x^{3}) + 2 y y' (2 y^{2})$ .

$2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$ por $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$ por $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ .

$\frac{2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Paso 5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{3 x^{3} + 2 y^{2}} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Paso 5.4.2.3

Cancela el factor común de $3 x^{3} + 2 y^{2}$ .

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Paso 5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{3 x^{3} + 2 y^{2}} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Paso 5.4.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (y (3 x^{3} + 2 y^{2}))} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Paso 5.4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (y (3 x^{3} + 2 y^{2}))} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Paso 5.4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Paso 5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Paso 5.4.3.1.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 5.4.3.1.3.1

Factoriza $y$ de $- 9 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Paso 5.4.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.3.2.1

Factoriza $y$ de $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{y (2 (3 x^{3} + 2 y^{2}))}$

Paso 5.4.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{y (2 (3 x^{3} + 2 y^{2}))}$

Paso 5.4.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Paso 5.4.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$