Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = \frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16 = 0$

Paso 1.2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{3} - x^{2}) - 48 x + 16 = 0$

Paso 1.2.2.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{2} (3 x - 1) - 16 (3 x - 1) = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x^{2} - 16) = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$(3 x - 1) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Paso 1.2.2.1.4

Factoriza.

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Paso 1.2.2.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$(3 x - 1) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Paso 1.2.2.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(3 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Paso 1.2.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 1.2.2.3

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.2.3.1

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Paso 1.2.2.3.2

Resuelve $3 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Paso 1.2.2.3.2.2

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.3.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 1.2.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 1.2.2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 1.2.2.4

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.2.4.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 1.2.2.4.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 1.2.2.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.2.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 1.2.2.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 1.2.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{3}, - 4, 4$

Paso 1.2.3

Excluye las soluciones que no hagan que $0 = \frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$ sea verdadera.

$x = \frac{1}{3}, 4$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(\frac{1}{3}, 0), (4, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = \frac{3 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4}$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{3 \cdot 0^{3} - {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4}$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{3 \cdot 0^{3} - 0^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4}$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{3 \cdot 0^{3} - 0^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Paso 2.2.4

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{3 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4}$

Paso 2.2.5

Simplifica $\frac{3 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4}$ .

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Paso 2.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = \frac{3 \cdot 0 - 0^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Paso 2.2.5.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$y = \frac{0 - 0^{2} - 48 \cdot 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Paso 2.2.5.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = \frac{0 - 0 - 48 \cdot 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Paso 2.2.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$y = \frac{0 + 0 - 48 \cdot 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Paso 2.2.5.1.5

Multiplica $- 48$ por $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Paso 2.2.5.1.6

Suma $0$ y $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Paso 2.2.5.1.7

Suma $0$ y $0$ .

$y = \frac{0 + 16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Paso 2.2.5.1.8

Suma $0$ y $16$ .

$y = \frac{16}{0^{2} + 5 (0) + 4}$

Paso 2.2.5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = \frac{16}{0 + 5 (0) + 4}$

Paso 2.2.5.2.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$y = \frac{16}{0 + 0 + 4}$

Paso 2.2.5.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$y = \frac{16}{0 + 4}$

Paso 2.2.5.2.4

Suma $0$ y $4$ .

$y = \frac{16}{4}$

Paso 2.2.5.3

Divide $16$ por $4$ .

$y = 4$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 4)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(\frac{1}{3}, 0), (4, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 4)$

Paso 4