Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{3 x} \ln (2 x^{2} - 2)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{3 x}$ y $g (x) = \ln (2 x^{2} - 2)$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{2} - 2)] + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x^{2} - 2$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x^{2} - 2$ .

$e^{3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{3 x} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x^{2} - 2$ .

$e^{3 x} (\frac{1}{2 x^{2} - 2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2 x^{2} - 2}$ y $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2] + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (4 x + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (4 x + 0) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.7

Simplifica los términos.

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Paso 3.7.1

Suma $4 x$ y $0$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (4 x) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.7.2

Combina $4$ y $\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2}$ .

$\frac{4 e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} x + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.7.3

Combina $\frac{4 e^{3 x}}{2 x^{2} - 2}$ y $x$ .

$\frac{4 e^{3 x} x}{2 x^{2} - 2} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.7.4

Cancela el factor común de $4$ y $2 x^{2} - 2$ .

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Paso 3.7.4.1

Factoriza $2$ de $4 e^{3 x} x$ .

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 x^{2} - 2} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.7.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2}) - 2} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.7.4.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2}) + 2 (- 1)} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.7.4.2.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2} - 1)} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.7.4.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2} - 1)} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.7.4.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} \cdot 3)$

Paso 5.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (3 \cdot e^{3 x})$

Paso 6

Para escribir $\ln (2 x^{2} - 2) (3 e^{3 x})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \frac{\ln (2 x^{2} - 2) (3 e^{3 x}) (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln (2 x^{2} - 2) (3 e^{3 x}) (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 e^{3 x} x + 3 \ln (2 x^{2} - 2) e^{3 x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Paso 8.1.1.2

Simplifica $3 \ln (2 x^{2} - 2)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Paso 8.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} \cdot - 1}{x^{2} - 1}$

Paso 8.1.1.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} - 1 \cdot (\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x})}{x^{2} - 1}$

Paso 8.1.1.5

Reescribe $- 1 (\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x})$ como $- (\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x})$ .

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} - \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x}}{x^{2} - 1}$

Paso 8.1.2

Reordena los factores en $2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} - \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x}$ .

$\frac{2 x e^{3 x} + x^{2} e^{3 x} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) - e^{3 x} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3})}{x^{2} - 1}$

Paso 8.2

Reordena los términos.

$\frac{2 e^{3 x} x + e^{3 x} x^{2} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) - e^{3 x} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3})}{x^{2} - 1}$