Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{5 x^{3} - 4 x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3} - 4 x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3} - 4 x}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3} - 4 x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3} - 4 x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3} - 4 x}$

Paso 1.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3} - 4 x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3} - lim_{x \to 0} 4 x}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 4 x}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 4 x}$

Paso 1.1.3.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0^{3} - 4 lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.6.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 - 4 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.6.1.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0}{0 - 4 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.6.1.3

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.1.3.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{5 x^{3} - 4 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

Paso 1.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

Paso 1.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

Paso 1.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [5 x^{3} - 4 x]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{3} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Paso 1.3.8.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}$

Paso 1.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}$

Paso 1.3.8.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]}$

Paso 1.3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.3.9.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{15 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{15 x^{2} - 4 \cdot 1}$

Paso 1.3.9.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{15 x^{2} - 4}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x)}{15 x^{2} - 4}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 15 x^{2} - 4}$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$3 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 15 x^{2} - 4}$

Paso 2.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 15 x^{2} - 4}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 15 x^{2} - lim_{x \to 0} 4}$

Paso 2.6

Mueve el término $15$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{15 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 4}$

Paso 2.7

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}$

Paso 2.8

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0)}{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0)}{15 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$3 \frac{\cos (0)}{15 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$3 \frac{1}{15 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 \frac{1}{15 \cdot 0 - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.2

Multiplica $15$ por $0$ .

$3 \frac{1}{0 - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$3 \frac{1}{0 - 4}$

Paso 4.2.4

Resta $4$ de $0$ .

$3 (\frac{1}{- 4})$

Paso 4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (- \frac{1}{4})$

Paso 4.4

Multiplica $3 (- \frac{1}{4})$ .

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 (\frac{1}{4})$

Paso 4.4.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3}{4}$

Forma decimal:

$- 0.75$