Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{4 - 3})}{h}$

Paso 1

Resta $3$ de $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{h}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite de $5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{5 - \sqrt{4 - (3 + 0)} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.2.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{5 - \sqrt{4 - 1 \cdot 3} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{5 - \sqrt{4 - 3} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.2.3

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{5 - \sqrt{1} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.2.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 1 - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 - 1 - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.2.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.2.6.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{5 - 1 - (5 - 1 \cdot 1)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 - 1 - (5 - 1)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.2.7

Resta $1$ de $5$ .

$\frac{5 - 1 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.2.8

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{5 - 1 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3

Resta $1$ de $5$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.4

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - 1 \cdot 1)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - 1)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3

Resta $1$ de $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - 1 \cdot 4$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.5

Como $5$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $5$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6

Evalúa $\frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}]$ .

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Paso 2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - (3 + h)}$ como ${(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $h$ es $- \frac{d}{d h} [{(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [{(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ y $g (h) = 4 - (3 + h)$ .

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Paso 2.3.6.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - (3 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - (3 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.4

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - (3 + h)$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- (3 + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- (3 + h)])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.5

Como $4$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $4$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [- (3 + h)])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- (3 + h)$ con respecto a $h$ es $- \frac{d}{d h} [3 + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d h} [3 + h])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.7

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (\frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [h]))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.8

Como $3$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $3$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + \frac{d}{d h} [h]))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.10

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.11

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.13

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.6.13.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.13.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.15

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.16

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.17

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.18

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.19

Combina $\frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.20

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- 1 \cdot {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.21

Reescribe $- 1 {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.22

Mueve ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- 1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.23

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - - \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.24

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 1 \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.25

Multiplica $\frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.7

Evalúa $\frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ .

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Paso 2.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.7.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.8

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - 1 \cdot 3 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.8.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.8.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - 3 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.8.2.2

Resta $3$ de $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.8.2.3

Suma $0$ y $\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.8.2.4

Suma $\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 2.5

Reescribe ${(1 - h)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 - h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - h}} \cdot 1$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{1 - h}}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - h}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - h}}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - h}}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - h}}$

Paso 3.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - h}}$

Paso 3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} h}}$

Paso 3.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{h \to 0} h}}$

Paso 3.7

Simplifica los términos.

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Paso 3.7.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Paso 3.7.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.7.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.7.2.1.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Paso 3.7.2.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 3.7.2.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 3.7.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 3.7.2.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$