Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{h}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (2 (x + h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} 2 (x + h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{\tan (2 lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\tan (2 (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{\tan (2 (x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.6

Evalúa el límite de $\tan (2 x)$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{\tan (2 (x + lim_{h \to 0} h)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{\tan (2 (x + 0)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3

Combina los términos opuestos en $\tan (2 (x + 0)) - \tan (2 x)$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{\tan (2 x) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $\tan (2 x)$ de $\tan (2 x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))]$ .

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Paso 1.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = \tan (h)$ y $g (h) = 2 (x + h)$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $2 (x + h)$ con respecto a $h$ es $2 \frac{d}{d h} [x + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.4

Como $x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.6

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) \cdot 2 + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.8

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (2 (x + h))$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 (x + h)) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4

Como $- \tan (2 x)$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- \tan (2 x)$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 (x + h)) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x + 2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.2

Suma $2 \sec^{2} (2 x + 2 h)$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.3

Reescribe $\sec (2 x + 2 h)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{h \to 0} \frac{2 {(\frac{1}{\cos (2 x + 2 h)})}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (2 x + 2 h)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.6

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)} \cdot 1$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$2 lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (2 x + 2 h)}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (2 x + 2 h)}$

Paso 2.4

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (2 x + 2 h)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \frac{1}{{(lim_{h \to 0} \cos (2 x + 2 h))}^{2}}$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} 2 x + 2 h)}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $2 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}$

Paso 2.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}$

Paso 3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$

Paso 4.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$ como ${(\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)})}^{2}$ .

$2 {(\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)})}^{2}$

Paso 4.3

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)}$ a $\sec (2 x + 2 \cdot 0)$ .

$2 \sec^{2} (2 x + 2 \cdot 0)$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \sec^{2} (2 x + 0)$

Paso 4.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$