Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} {(1 + \sin (x))}^{\csc (x)}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 + \sin (x))}^{\csc (x)}$ como $e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})$ ; para ello, mueve $\csc (x)$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{\csc (x) \ln (1 + \sin (x))}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 8} \csc (x) \ln (1 + \sin (x))}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \csc (x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \sin (x))}$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la cosecante es continua.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \sin (x))}$

Paso 2.4

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + \sin (x))}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \sin (x))}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (1 + lim_{x \to 8} \sin (x))}$

Paso 2.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (1 + \sin (lim_{x \to 8} x))}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{\csc (8) \cdot \ln (1 + \sin (lim_{x \to 8} x))}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{\csc (8) \cdot \ln (1 + \sin (8))}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Evalúa $\csc (8)$ .

$e^{7.18529653 \cdot \ln (1 + \sin (8))}$

Paso 4.2

Simplifica $7.18529653 \cdot \ln (1 + \sin (8))$ al mover $7.18529653$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln ({(1 + \sin (8))}^{7.18529653})}$

Paso 4.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(1 + \sin (8))}^{7.18529653}$

Paso 4.4

Evalúa $\sin (8)$ .

${(1 + 0.1391731)}^{7.18529653}$

Paso 4.5

Suma $1$ y $0.1391731$ .

${1.1391731}^{7.18529653}$

Paso 4.6

Eleva $1.1391731$ a la potencia de $7.18529653$ .

$2.55043306$