Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} {\tan (x)}^{\tan (x)}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${\tan (x)}^{\tan (x)}$ como $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (x)})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({\tan (x)}^{\tan (x)})$ ; para ello, mueve $\tan (x)$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\tan (x) \ln (\tan (x))}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) \ln (\tan (x))}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \ln (\tan (x))}$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$e^{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \ln (\tan (x))}$

Paso 2.4

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \ln (lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x))}$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$e^{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \ln (\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x))}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$e^{\tan (\frac{π}{4}) \cdot \ln (\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x))}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$e^{\tan (\frac{π}{4}) \cdot \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$e^{1 \cdot \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Paso 4.2

Simplifica $1 \cdot \ln (\tan (\frac{π}{4}))$ al mover $1$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln (\tan^{1} (\frac{π}{4}))}$

Paso 4.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\tan^{1} (\frac{π}{4})$

Paso 4.4

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$1^{1}$

Paso 4.5

Evalúa el exponente.

$1$