Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} {\tan (x)}^{\cos (x)}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${\tan (x)}^{\cos (x)}$ como $e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})$ ; para ello, mueve $\cos (x)$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Paso 2

Establece el límite como un límite izquierdo.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Paso 3

Evalúa el límite izquierdo.

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Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (x) \ln (\tan (x))}$

Paso 3.2

Reescribe $\cos (x) \ln (\tan (x))$ como $\frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}}$

Paso 3.3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \ln (\tan (x))}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

Paso 3.3.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

Paso 3.3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.3.1.3.1

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sec (x)}}$

Paso 3.3.1.3.2

A medida que los valores de $x$ se acercan a $\frac{π}{2}$ desde la izquierda, los valores de la función aumentan sin cota.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.3.1.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.3.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}$

Paso 3.3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.3

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.5

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.6

Simplifica.

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Paso 3.3.3.6.1

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.6.2

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.7

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.8

Combina $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ y $\sec^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \sec^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.9

Simplifica.

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Paso 3.3.3.9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.3.9.1.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.9.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.9.1.3

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 3.3.3.9.1.3.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.9.1.3.2

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.9.1.3.3

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.9.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.9.2

Combina los términos.

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Paso 3.3.3.9.2.1

Reescribe $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ como un producto.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.9.2.2

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Paso 3.3.3.10

Reescribe $\frac{1}{\cos (x)}$ como $\cos^{- 1} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)]}}$

Paso 3.3.3.11

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.3.3.11.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Paso 3.3.3.11.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Paso 3.3.3.11.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Paso 3.3.3.12

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}}$

Paso 3.3.3.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

Paso 3.3.3.14

Multiplica $\cos^{- 2} (x)$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

Paso 3.3.3.15

Simplifica.

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Paso 3.3.3.15.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)}}$

Paso 3.3.3.15.2

Combina $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ y $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 3.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}$

Paso 3.3.5

Combina factores.

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Paso 3.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \sin (x)}}$

Paso 3.3.5.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin (x)}}$

Paso 3.3.5.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}}$

Paso 3.3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}}}$

Paso 3.3.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Paso 3.3.6

Cancela el factor común de $\cos^{2} (x)$ y $\cos (x)$ .

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Paso 3.3.6.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Paso 3.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.6.2.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (\sin^{2} (x))}}$

Paso 3.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Paso 3.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Paso 3.3.7

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}}$

Paso 3.3.8

Separa las fracciones.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 3.3.9

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)}$

Paso 3.3.10

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cot (x)}$

Paso 3.4

Evalúa el límite.

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Paso 3.4.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

Paso 3.4.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la cosecante es continua.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

Paso 3.4.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

Paso 3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

Paso 3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

Paso 3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.6.1

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$e^{1 \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

Paso 3.6.2

Multiplica $\cot (\frac{π}{2})$ por $1$ .

$e^{\cot (\frac{π}{2})}$

Paso 3.6.3

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$e^{0}$

Paso 3.7

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$

Paso 4

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Paso 5

Evalúa los límites al insertar el valor para la variable.

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\tan (\frac{π}{2}))}$

Paso 5.2

Reescribe $\tan (\frac{π}{2})$ en términos de senos y cosenos.

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (\frac{π}{2})})}$

Paso 5.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$

Paso 5.4

Como $e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$ es indefinida, el límite no existe.

$No existe$

Paso 6

Si ninguno de los límites unilaterales existe, el límite no existe.

$No existe$