Cálculo Ejemplos

$3^{2 x} - 108 \cdot 3^{x} + 2187 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $3^{2 x}$ como ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} - 108 \cdot 3^{x} + 2187 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = 3^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $3^{x}$ .

$u^{2} - 108 u + 2187 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} - 108 u + 2187$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2187$ y cuya suma es $- 108$ .

$- 81, - 27$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 81) (u - 27) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3^{x}$ .

$(3^{x} - 81) (3^{x} - 27) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3^{x} - 81 = 0$

$3^{x} - 27 = 0$

Paso 3

Establece $3^{x} - 81$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $3^{x} - 81$ igual a $0$ .

$3^{x} - 81 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $3^{x} - 81 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $81$ a ambos lados de la ecuación.

$3^{x} = 81$

Paso 3.2.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{x} = 3^{4}$

Paso 3.2.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 4$

Paso 4

Establece $3^{x} - 27$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $3^{x} - 27$ igual a $0$ .

$3^{x} - 27 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $3^{x} - 27 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $27$ a ambos lados de la ecuación.

$3^{x} = 27$

Paso 4.2.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{x} = 3^{3}$

Paso 4.2.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 3$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3^{x} - 81) (3^{x} - 27) = 0$ verdadera.

$x = 4, 3$