Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} - e^{2 x}}{e^{x} - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{4 x} - e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{4 lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{e^{4 lim_{x \to 0} x} - e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{4 \cdot 0} - e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{4 \cdot 0} - e^{2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.7.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{e^{0} - e^{2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.7.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - e^{2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.7.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.7.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.7.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.7.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} - e^{2 x}}{e^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{4 x} - e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.5

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - (e^{2 x} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - (2 \cdot e^{2 x})}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - 2 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - 2 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - 2 e^{2 x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - 2 e^{2 x}}{e^{x} + 0}$

Paso 1.3.8

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{4 x} - 2 e^{2 x}}{e^{x}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{4 x} - 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{4 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Paso 2.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Paso 2.4

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{4 e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Paso 2.5

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Paso 2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Paso 2.7

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{4 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Paso 2.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Paso 2.9

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{4 e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{4 e^{4 \cdot 0} - 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{4 e^{4 \cdot 0} - 2 e^{2 \cdot 0}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{4 e^{4 \cdot 0} - 2 e^{2 \cdot 0}}{e^{0}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{4 e^{0} - 2 e^{2 \cdot 0}}{e^{0}}$

Paso 4.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{4 \cdot 1 - 2 e^{2 \cdot 0}}{e^{0}}$

Paso 4.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 - 2 e^{2 \cdot 0}}{e^{0}}$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{4 - 2 e^{0}}{e^{0}}$

Paso 4.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 1}{e^{0}}$

Paso 4.1.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{4 - 2}{e^{0}}$

Paso 4.1.7

Resta $2$ de $4$ .

$\frac{2}{e^{0}}$

Paso 4.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{2}{1}$

Paso 4.3

Divide $2$ por $1$ .

$2$