Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} - 1}{2 x}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} - 1}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{8 x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{8 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} 8 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{8 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{8 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{8 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{8 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{8 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{8 x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

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Paso 2.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 8 x$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \cdot 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \cdot 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \cdot 8 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.5

Mueve $8$ a la izquierda de $e^{8 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Suma $8 e^{8 x}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x}}{1}$

Paso 2.4

Divide $8 e^{8 x}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 8 e^{8 x}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8 lim_{x \to 0} e^{8 x}$

Paso 3.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{2} \cdot 8 e^{lim_{x \to 0} 8 x}$

Paso 3.3

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8 e^{8 lim_{x \to 0} x}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8 e^{8 \cdot 0}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (4)) e^{8 \cdot 0}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4) e^{8 \cdot 0}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$4 e^{8 \cdot 0}$

Paso 5.2

Multiplica $8$ por $0$ .

$4 e^{0}$

Paso 5.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 5.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$