Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} {(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe ${(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)}$ como $e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)})$ ; para ello, mueve $\cot (x)$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Paso 3

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$

Paso 4

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x)) \\ - 0.1 & 4.91697664 \\ - 0.01 & 4.08095239 \\ - 0.001 & 4.00800935 \\ - 0.0001 & 4.00080009 \\ - 0.00001 & 4.00008 \\ - 0.000001 & 4.000008 \end{array}$

Paso 5

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $4$ . Por lo tanto, el límite de $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $4$ .

$4$

Paso 6

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$

Paso 7

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x)) \\ 0.1 & 3.27788185 \\ 0.01 & 3.92091504 \\ 0.001 & 3.99200931 \\ 0.0001 & 3.99920009 \\ 0.00001 & 3.99992 \\ 0.000001 & 3.99999199 \end{array}$

Paso 8

$e^{4}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e^{4}$

Forma decimal:

$54.59815003 \dots$