Cálculo Ejemplos

lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\cot (3 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\cot (3 x)}$

Paso 1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 1.1

Reescribe

\cot (3 x)

$\cot (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Paso 1.2

Reescribe

\cot (4 x)

$\cot (4 x)$ en términos de senos y cosenos.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Paso 1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por

\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Convierte de

\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}

$\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}$ a

\cot (4 x)

$\cot (4 x)$ .

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Paso 1.4.2

Convierte de

\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ a

\tan (3 x)

$\tan (3 x)$ .

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

Paso 2

Considera el límite izquierdo.

lim_{x \to 0^{-}} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (4 x) \tan (3 x)$

Paso 3

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ a medida que

x

$x$ se acerca a

0

$0$ desde la izquierda.

\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ - 0.1 & 0.73164903 \\ - 0.01 & 0.74982491 \\ - 0.001 & 0.74999824 \end{array}

$\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ - 0.1 & 0.73164903 \\ - 0.01 & 0.74982491 \\ - 0.001 & 0.74999824 \end{array}$

Paso 4

A medida que los valores de

x

$x$ se acercan a

0

$0$ , los valores de la función se acercan a

0.75

$0.75$ . Por lo tanto, el límite de

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ a medida que

x

$x$ se acerca a

0

$0$ desde la izquierda es

0.75

$0.75$ .

0.75

$0.75$

Paso 5

Considera el límite derecho.

lim_{x \to 0^{+}} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (4 x) \tan (3 x)$

Paso 6

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ a medida que

x

$x$ se acerca a

0

$0$ desde la derecha.

\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ 0.1 & 0.73164903 \\ 0.01 & 0.74982491 \\ 0.001 & 0.74999824 \end{array}

$\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ 0.1 & 0.73164903 \\ 0.01 & 0.74982491 \\ 0.001 & 0.74999824 \end{array}$

Paso 7

A medida que los valores de

x

$x$ se acercan a

0

$0$ , los valores de la función se acercan a

0.75

$0.75$ . Por lo tanto, el límite de

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ a medida que

x

$x$ se acerca a

0

$0$ desde la derecha es

0.75

$0.75$ .

0.75

$0.75$