Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(x + 3)}^{2} - 9}{2 x}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{{(x + 3)}^{2} - 9}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(x + 3)}^{2} - 9}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(x + 3)}^{2} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de ${(x + 3)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x + 3)}^{2} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3)}^{2} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x + 3)}^{2} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.5

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x + 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(0 + 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 9}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{{(x + 3)}^{2} - 9}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Reescribe ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3) - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Expande $(x + 3) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (x + 3) + 3 (x + 3) - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9 - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 6 x + 9 - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 2.3.7.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 + 0 + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.9

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.10

Combina los términos.

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Paso 2.3.10.1

Suma $2 x + 6$ y $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.10.2

Suma $2 x + 6$ y $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6}{1}$

Paso 2.4

Divide $2 x + 6$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 2 x + 6$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 6)$

Paso 3.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6)$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x + 6)$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 0 + 6)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 6)$

Paso 5.2

Suma $0$ y $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (3))$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Paso 5.3.3

Reescribe la expresión.

$3$