Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \sqrt[4]{\frac{7 + 81 x^{2}}{x^{2} + 8}}$

Paso 1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt[4]{lim_{x \to 8} \frac{7 + 81 x^{2}}{x^{2} + 8}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to 8} 7 + 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to 8} 7 + lim_{x \to 8} 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Paso 4

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + lim_{x \to 8} 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Paso 5

Mueve el término $81$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Paso 6

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Paso 9

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 8^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 8^{2}}{8^{2} + 8}}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 64}{8^{2} + 8}}$

Paso 11.2

Multiplica $81$ por $64$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 5184}{8^{2} + 8}}$

Paso 11.3

Suma $7$ y $5184$ .

$\sqrt[4]{\frac{5191}{8^{2} + 8}}$

Paso 11.4

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt[4]{\frac{5191}{64 + 8}}$

Paso 11.5

Suma $64$ y $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{5191}{72}}$

Paso 11.6

Reescribe $\sqrt[4]{\frac{5191}{72}}$ como $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$

Paso 11.7

Multiplica $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$

Paso 11.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 11.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{\sqrt[4]{72} {\sqrt[4]{72}}^{3}}$

Paso 11.8.2

Eleva $\sqrt[4]{72}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{1} {\sqrt[4]{72}}^{3}}$

Paso 11.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{1 + 3}}$

Paso 11.8.4

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{4}}$

Paso 11.8.5

Reescribe ${\sqrt[4]{72}}^{4}$ como $72$ .

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Paso 11.8.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{72}$ como $72^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{(72^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Paso 11.8.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Paso 11.8.5.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{4}{4}}}$

Paso 11.8.5.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 11.8.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{4}{4}}}$

Paso 11.8.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{1}}$

Paso 11.8.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72}$

Paso 11.9

Simplifica el numerador.

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Paso 11.9.1

Reescribe ${\sqrt[4]{72}}^{3}$ como $\sqrt[4]{72^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{72^{3}}}{72}$

Paso 11.9.2

Eleva $72$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{373248}}{72}$

Paso 11.9.3

Reescribe $373248$ como $12^{4} \cdot 18$ .

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Paso 11.9.3.1

Factoriza $20736$ de $373248$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{20736 (18)}}{72}$

Paso 11.9.3.2

Reescribe $20736$ como $12^{4}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{12^{4} \cdot 18}}{72}$

Paso 11.9.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\sqrt[4]{5191} \cdot 12 \sqrt[4]{18}}{72}$

Paso 11.9.5

Combina exponentes.

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Paso 11.9.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{12 \sqrt[4]{5191 \cdot 18}}{72}$

Paso 11.9.5.2

Multiplica $5191$ por $18$ .

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{72}$

Paso 11.10

Cancela el factor común de $12$ y $72$ .

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Paso 11.10.1

Factoriza $12$ de $12 \sqrt[4]{93438}$ .

$\frac{12 (\sqrt[4]{93438})}{72}$

Paso 11.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.10.2.1

Factoriza $12$ de $72$ .

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{12 \cdot 6}$

Paso 11.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{12 \cdot 6}$

Paso 11.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt[4]{93438}}{6}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt[4]{93438}}{6}$

Forma decimal:

$2.91393347 \dots$