Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{2 x^{2} - 1}{x + 8 x^{2}}}$

Paso 1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{2 x^{2} - 1}{x + 8 x^{2}}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Paso 4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Paso 5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Paso 8

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Paso 9

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{8 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Paso 10.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 64 - 1 \cdot 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $64$ .

$\sqrt{\frac{128 - 1 \cdot 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 11.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{128 - 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 11.4

Resta $1$ de $128$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 11.5

Multiplica $8$ por $8^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.5.1

Multiplica $8$ por $8^{2}$ .

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Paso 11.5.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8^{1} \cdot 8^{2}}}$

Paso 11.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8^{1 + 2}}}$

Paso 11.5.2

Suma $1$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8^{3}}}$

Paso 11.6

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 512}}$

Paso 11.7

Suma $8$ y $512$ .

$\sqrt{\frac{127}{520}}$

Paso 11.8

Reescribe $\sqrt{\frac{127}{520}}$ como $\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{520}}$ .

$\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{520}}$

Paso 11.9

Simplifica el denominador.

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Paso 11.9.1

Reescribe $520$ como $2^{2} \cdot 130$ .

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Paso 11.9.1.1

Factoriza $4$ de $520$ .

$\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{4 (130)}}$

Paso 11.9.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{2^{2} \cdot 130}}$

Paso 11.9.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}}$

Paso 11.10

Multiplica $\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}}$ por $\frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$ .

$\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}} \cdot \frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$

Paso 11.11

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 11.11.1

Multiplica $\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}}$ por $\frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \sqrt{130} \sqrt{130}}$

Paso 11.11.2

Mueve $\sqrt{130}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 (\sqrt{130} \sqrt{130})}$

Paso 11.11.3

Eleva $\sqrt{130}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 ({\sqrt{130}}^{1} \sqrt{130})}$

Paso 11.11.4

Eleva $\sqrt{130}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 ({\sqrt{130}}^{1} {\sqrt{130}}^{1})}$

Paso 11.11.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 {\sqrt{130}}^{1 + 1}}$

Paso 11.11.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 {\sqrt{130}}^{2}}$

Paso 11.11.7

Reescribe ${\sqrt{130}}^{2}$ como $130$ .

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Paso 11.11.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{130}$ como $130^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 {(130^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.11.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 11.11.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.11.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.11.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.11.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{1}}$

Paso 11.11.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130}$

Paso 11.12

Simplifica el numerador.

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Paso 11.12.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{127 \cdot 130}}{2 \cdot 130}$

Paso 11.12.2

Multiplica $127$ por $130$ .

$\frac{\sqrt{16510}}{2 \cdot 130}$

Paso 11.13

Multiplica $2$ por $130$ .

$\frac{\sqrt{16510}}{260}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{16510}}{260}$

Forma decimal:

$0.49419709 \dots$