Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^{2} + 3} - 2}{x - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3} - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 3} - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.1.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 3} - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.1.6

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{1^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\sqrt{1 + 3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^{2} + 3} - 2}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 3} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 3} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x^{2} + 3} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 3}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 3}$ como ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.11

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.13

Combina $2$ y $\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.14

Combina $\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.15

Mueve ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.16

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.17

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.5

Suma $\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 1.5

Reescribe ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x^{2} + 3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 3}} \cdot 1$

Paso 1.6

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 3}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3}}$

Paso 2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{lim_{x \to 1} x}{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + 3}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x}{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 3}}$

Paso 2.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{lim_{x \to 1} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 3}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} + 3}}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\sqrt{1 + 3}}$

Paso 4.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{1}{\sqrt{4}}$

Paso 4.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 4.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$