Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (5 x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} 5 x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

Paso 3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

Paso 4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{lim_{x \to 8} 5 x}}$

Paso 5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\ln (5 \cdot 8)}{\sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\ln (5 \cdot 8)}{\sqrt{5 \cdot 8}}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Multiplica $5$ por $8$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{5 \cdot 8}}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Multiplica $5$ por $8$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{40}}$

Paso 7.2.2

Reescribe $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $4$ de $40$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{4 (10)}}$

Paso 7.2.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{2^{2} \cdot 10}}$

Paso 7.2.3

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Paso 7.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.4.1

Multiplica $\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

Paso 7.4.2

Mueve $\sqrt{10}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Paso 7.4.3

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})}$

Paso 7.4.4

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})}$

Paso 7.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Paso 7.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{2}}$

Paso 7.4.7

Reescribe ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Paso 7.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{1}}$

Paso 7.4.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10}$

Paso 7.5

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{20}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{20}$

Forma decimal:

$0.58326305 \dots$