Cálculo Ejemplos

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.1.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.1.7

Evalúa el límite de $\frac{1}{2}$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (0)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + 0} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1 - 1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.3.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.3.4

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.1.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe $\frac{1}{2 + \sin (θ)}$ como ${(2 + \sin (θ))}^{- 1}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [{(2 + \sin (θ))}^{- 1}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = θ^{- 1}$ y $g (θ) = 2 + \sin (θ)$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 + \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $2$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.3.5

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.3.6

Suma $0$ y $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.4

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- \frac{1}{2}$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.5.2.1

Combina $\cos (θ)$ y $\frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.5.2.2

Suma $- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ y $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.6

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\cos (θ)}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{1}{\cos (θ)}$ por $\frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ .

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $\cos (θ)$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Paso 1.6.2

Reescribe la expresión.

$lim_{θ \to 0} - \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$- lim_{θ \to 0} \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Paso 2.4

Mueve el exponente $2$ de ${(2 + \sin (θ))}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ))}^{2}}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{{(2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Paso 2.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- \frac{1}{{(2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ))}^{2}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$- \frac{1}{{(2 + \sin (0))}^{2}}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- \frac{1}{{(2 + 0)}^{2}}$

Paso 4.2

Suma $2$ y $0$ .

$- \frac{1}{2^{2}}$

Paso 4.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$- 0.25$