Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{3}{x}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $- \frac{3}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{3}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{3}{x}$ por $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{3 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{3 - 3 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 - 3 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 - lim_{x \to 0} 3 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.1.2

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 - lim_{x \to 0} 3 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 - 3 lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.1.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{3 - 3 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.1.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.1.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{1}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{3 - 3 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.3.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}}$

Paso 2.1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}}$

Paso 2.1.3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}$

Paso 2.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}$

Paso 2.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + 0}}$

Paso 2.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1}}$

Paso 2.1.3.6.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Paso 2.1.3.6.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.6.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{3 - 3 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - 3 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - 3 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 3 \sqrt{1 + x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt{1 + x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 \sqrt{1 + x}]$ .

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Paso 2.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x}$ como ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 3 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + x$ .

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Paso 2.3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.4.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.12

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.13

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.14

Multiplica $\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 \frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.15

Mueve ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.16

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{- 3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.5

Resta $\frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x}$ como ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + x$ .

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Paso 2.3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.12.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.12.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.15

Mueve ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.16

Combina $\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.17

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.18

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.19

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.20

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.21

Multiplica $\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.22

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Paso 2.3.23

Multiplica ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.3.24

Para escribir ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.25

Combina ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.27

Multiplica ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.27.1

Mueve ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.27.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.27.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.27.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.27.5

Divide $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{1} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.28

Simplifica ${(1 + x)}^{1} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + (1 + x) \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.29

Mueve $2$ a la izquierda de $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 \cdot (1 + x)}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.30

Simplifica.

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Paso 2.3.30.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 \cdot 1 + 2 x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.30.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.30.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 + 2 x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.30.2.2

Suma $x$ y $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x + 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} - \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 2}$

Paso 2.5

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 2.5.1

Reescribe ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{3}{2 \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 2}$

Paso 2.5.2

Reescribe ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{3}{2 \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{2 \sqrt{1 + x}}{3 x + 2}$

Paso 2.6

Combina factores.

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Paso 2.6.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{1 + x}}{3 x + 2}$ por $\frac{3}{2 \sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 \sqrt{1 + x} \cdot 3}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

Paso 2.6.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{6 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

Paso 2.7

Reduce.

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Paso 2.7.1

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.7.1.1

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (3 \sqrt{1 + x})}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

Paso 2.7.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.1.2.1

Factoriza $2$ de $(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (3 \sqrt{1 + x})}{2 ((3 x + 2) (\sqrt{1 + x}))}$

Paso 2.7.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (3 \sqrt{1 + x})}{2 ((3 x + 2) (\sqrt{1 + x}))}$

Paso 2.7.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} - \frac{3 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) (\sqrt{1 + x})}$

Paso 2.7.2

Cancela el factor común de $\sqrt{1 + x}$ .

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Paso 2.7.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} - \frac{3 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.7.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} - \frac{3}{3 x + 2}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{3}{3 x + 2}$

Paso 3.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 3 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x + 2}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x + 2}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 0} 3 x + 2}$

Paso 3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 3.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 3 \frac{1}{3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 3.7

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- 3 \frac{1}{3 lim_{x \to 0} x + 2}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- 3 \frac{1}{3 \cdot 0 + 2}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$- 3 \frac{1}{0 + 2}$

Paso 5.1.2

Suma $0$ y $2$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Paso 5.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Paso 5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$- 1.5$